Paradoxe de Russell
Le paradoxe de Russell est un paradoxe de la théorie des ensembles (Russell lui-même parle de théorie des classes, en un sens équivalent). On peut le formuler ainsi: la classe des classes n'appartenant pas à elles-mêmes appartient-elle à elle-même? Si on répond oui, alors, comme par définition les membres de cette classe n'appartiennent pas à eux-mêmes, elle n'appartient pas à elle-même: contradiction. Mais si on répond non, alors, elle a la propriété requise pour appartenir à elle-même: contradiction de nouveau. On a donc une contradiction dans les deux cas, ce qui fait le paradoxe.
Ce paradoxe résulte d'une circularité vicieuse, ou en termes techniques d'une imprédicativité, dans la définition de la classe. C'est la conséquence d'une utilisation non restreinte du principe de compréhension dans une théorie naïve des ensembles, selon lequel tout prédicat (en l'occurrence ne pas appartenir à soi-même) définit un ensemble.
Les principales solutions furent:
- la théorie des types (de Russell lui-même) selon laquelle les ensembles sont de types hiérarchisés. Un ensemble ne peut contenir que des objets de types strictement inférieurs à lui-même, de sorte qu'on ne peut tout simplement plus poser la question paradoxale. (On ne peut plus former d'ensemble à partir du prédicat d'auto-appartenance.)
- La restriction du principe de compréhension, dont la plus fameuse est dans l'axiomatisation de Zermelo: un prédicat ne définit pas un ensemble mais sépare, dans un ensemble déjà donné, les objets qui ont une certaine propriété.
- La réfutation du paradoxe en tant que paradoxe mathématique (voir la discussion de cet article).