Paradoxe des anniversaires
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Le paradoxe des anniversaires stipule que s'il y a 23 personnes dans un lieu, alors il y a légèrement plus de 50 % de chances qu'au moins deux personnes fêtent leur anniversaire le même jour. À partir de 60 personnes, la probabilité est supérieure à 99 %.
Cependant, il ne s'agit pas d'un paradoxe dans le sens de contradiction logique ; c'est un paradoxe, dans le sens où c'est une vérité mathématique qui contredit l'intuition : la plupart des gens estiment que cette probabilité est très inférieure à 50 %.
Les gens pensent en général à la probabilité que 2 personnes soient née en même temps un jour donné, probabilité qui est en effet très faible.
Démonstration
Pour s'en convaincre, il faut prendre le problème dans l'autre sens, et calculer la probabilité qu'aucune personne ne soit née le même jour qu'une autre. C'est exactement la proposition contraire, et sa probabilité vaut un moins la probabilité recherchée.
La probabilité que l'on recherche est donc : 
avec N le nombre de personnes.
En effet, la première personne est forcément la seule à être née un jour donné. La deuxième a 364 chances sur 365 d'être née un autre jour que la première. La troisième n'a plus que 363 chances sur 365 de n'être née ni le même jour que la première, ni le même que la deuxième, etc. jusqu'à ce qu'on arrive au nombre total de personnes. On retranche ensuite le resultat à 1 pour obtenir la probabilité initiale.
En faisant l'application numérique, on trouve 50,72 % pour 23 personnes...
Applications
Le paradoxe des anniversaires est utilisé en cryptographie pour élaborer des attaques sur les fonctions de hachage. Il permet d'établir une estimation de la résistance de ces algorithmes aux collisions quelconques (deux messages qui produisent le même condensé).