Pendule simple

Tout solide pesant suspendu autour d'un axe horizontal en position stable pend avec son centre de gravité G situé sous cet axe.

Soit O la projection de G sur l'axe. Écartons G de sa position stable d'un angle \theta_0 \, appelé élongation maximale puis lachons. On voit G décrire de façon périodique un arc de cercle (de centre O , de longueur OG = a et de demi-angle \theta_0 \,). On dit que le solide pendule.

C'est un pendule pesant composé. Une analyse élémentaire le ramène à l'étude du pendule simple qui est le plus simple des solides : une tige sans masse OG de longueur appelée l et un point matériel en G de masse m, décrivant le cercle de plan vertical, de rayon OG. L' analyse mathématique de ce mouvement est faite à l'article pendule pesant.


Expérimentalement, pour de petites oscillations, on constate que la variation périodique est quasi-sinusoïdale :

\Theta(t) = \Theta_0 sin \omega t\, ; de période T_0 = 2\pi\sqrt\frac{l}{g}.

Pour de plus grandes amplitudes, on peut utiliser :

D'autre part, l'oscillation périodique devient nettement anharmonique, comme le montre le taux d'harmoniques.


Enfin, pour une énergie mécanique plus grande, le pendule tournoie de façon périodique : à grande vitesse V, cette période T tend vers 2\pi . l \over V.

La description mathématique complète est une bonne introduction aux fonctions elliptiques.

Sommaire

Les équations liées au pendule simple

On repère la position du pendule simple par l'angle polaire \theta\,, orienté entre la verticale descendante et OG et appelé élongation. On note \overrightarrow{g} l'accélération dûe à la pesanteur (sous nos latitudes, g \simeq 9,81\ m.s^{-2}) verticale orientée vers le bas (au niveau d'un laboratoire).

Analyse des forces :


Par application du principe fondamental de la dynamique, en projetant ces deux forces sur la tangente au mouvement, on obtient l'équation différentielle (du second ordre) liée au pendule simple (où le double point signifie dérivée seconde par rapport au temps). :

\ddot{\theta} + \omega^2 sin\theta = 0, avec \omega^2 = \frac{g}{l}

Dans le cas où l'angle reste faible, on peut le confondre avec son sinus et l'équation devient linéaire. On obtient alors la solution décrite dans l'introduction.

L'autre équation est celle donnée par le théorème de l'énergie cinétique :

\dot{\theta^2} + 2 \omega^2 ( cos\theta_0 - cos\theta) = 0

qui pour de faibles oscillations redonne bien le même mouvement sinusoïdal.

Tension du fil

Une quantité physique dépend de la masse du pendule : la tension de la barre (on peut y coller une jauge de contrainte qui donne par étalonnage la valeur de la tension).

La projection sur la normale du principe fondamental de la dynamique permet d'obtenir la relation :

T = mg cos \theta + ml \dot{\theta^2}

et, via le théorème de Torricelli :

ml \dot{\theta^2} = 2mg ( cos \theta -cos \theta_0)\, , d'où
T = mg ( 3 cos \theta - 2 cos \theta_0) \,

La valeur moyenne temporelle de la composante verticale est mg (après des calculs difficiles non faits dans le cadre de cette étude élémentaire). La jauge de contrainte permet de le vérifier expérimentalement.

D'autre part, T varie entre mg cos \theta_0 \, et mg(3-2cos \theta_0) \,,

Par exemple, pour 90° T varie entre entre 0 et 3.mg . Il faut donc prévoir un fil résistant à 3kg pour une masse de 1 kg, sinon le fil casse et la masse part ensuite en trajectoire parabolique. L'expérience est facile à montrer et assez spectaculaire mais il faut trouver le fil qui ne s'étire pas trop avant de casser. Une mise en évidence facile de l'augmentation de la tension T est d'utiliser un fil élastique. C'est aussi une belle expérience, mais il ne s'agit plus du tout du même problème et ce n'est plus du tout élémentaire ( cf botafumero).

Pour que le fil reste toujours tendu et que le pendule soit en mouvement de révolution ( looping the loop), il faut une énergie cinétique supérieure à mg.2l et même plus : E > (5/2) mg.l ; ce qui est aussi vérifiable aisément expérimentalement.

Histoire:l'analyse de Torricelli

Dans le cas de petites oscillations, Torricelli est certainement un des premiers à obtenir une mesure du coefficient en partant de considérations sur la chute ralentie. (Cf chute libre).

On peut pour considérer le mouvement du pendule d'amplitude 3\theta_0 \,, l'approximer par une chute sur un plan incliné de 2.\theta_0 \,, de longueur BC = 2l.sinθ0, suivi d'une trajectoire horizontale de C en A , de longueur BC/2.

On aura ainsi le quart de la trajectoire. La période T dans cette cuvette BCAC'B' est :

soit par approximation , T_isochrone = 2.\sqrt{\frac{l}{g}} \frac{5}{\sqrt2} \,soit une approximation de π :

\pi \approx \frac{5}{\sqrt2} = 3,53 \,

Une autre approximation donne 2+\sqrt2 = 3,1414 \,

Mais mieux encore, Torricelli remarque à juste titre que

\frac{1}{2} m v^2 + mg h = cste \,, avec h \approx \frac{s^2}{2l} \, , soit
v^2 + g/l s^2 = cste \,

Il lui suffit de vérifier que la fonction sinus satisfait l'équation et il a le résultat. En bon élève de Cavalieri, est-il capable de faire ce raisonnement avant 1647? La mystérieuse cassette ayant disparu à sa mort , on ne saura sans doute jamais rien des travaux ultimes de Torricelli (1608-1647) (Rappel : il a vécu une époque où on ne plaisantait pas avec l'Inquisition en Italie).

Son disciple ( via Mersenne) Huygens, trouve la valeur de avant 1659.

Remarque : ces termes sont anachroniques : g n'existe pas encore, car il n'y aura des unités que tard dans le siècle mais on compare au temps de chute libre de la hauteur H : ce fameux rapport : 0.555, qui intriguait Mersenne.

Grandes amplitudes et non linéarité

le niveau de ce paragraphe est plus élevé:

Les calculs sont faits dans l'article pendule pesant.

En physique, on préfère introduire progressivement la non-linéarité:

La présentation donnée ici est issue d'un livre de physique.

1.Formule de Borda

On considère donc l'équation différentielle approchée, dite de Duffing :

\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \theta - \frac{g}{6l}\theta^3 = 0

Alors , par la méthode des perturbations de Lindstedt-Poincaré, on montre que la période n'est plus isochrone : on obtient la formule dite de Borda :

T = 2\pi \sqrt \frac{l}{g}(1+ \theta_0^2/16) , négligeant \frac{11\theta_0^4}{3072} + O(\theta_0^6)
 

l'élongation maximale étant en radian. Cette formule suffit jusqu'à Pi/2, à 3% de précision ( 1+10/64=1.156 au lieu de 1.18).

Démonstration :si on suppose l'oscillation quasi-sinusoïdale, la raideur moyenne étant plus faible, on s'attend physiquement à une diminution de la pulsation; en utilisant la formule de Moivre sin3x = (3 / 4)sinx + [(1 / 4)sin3x,omis], il vient :

Remarque : on peut préférer la démonstration suivante dite du viriel:

d'où par la formule de Wallis : \theta_0^2 \omega^2[\frac{1}{2}] = \omega_0^2(\theta_0^2[\frac{1}{2}] - \frac{\theta_0^4}{6}[\frac{1*3}{2*4}]),soit

\omega^2 = \omega_0^2(1- \frac{\theta_0^2}{8}).
 

Ceci dit , l'équation de Duffing est complètement intégrable gràce aux fonctions elliptiques; mais à ce niveau de sophistication , autant aborder le problème du pendule.

2.Cas pleinement non-linéaire

On considère le cas pleinement non-linéaire :

\ddot{\theta} + \frac{g}{l} sin\theta = 0 ,on pose \frac{g}{l} = \omega_0^2
 

d'où le théorème de l'énergie cinétique :

l^2\dot{\theta^2} + 2gh = 2gH , avec h = l(1-cos\theta) = 2l sin^2 \frac{\theta}{2} 
 

Il s'avère que la "bonne" fonction inconnue est h( de période moitié!), ou sqrt(h) .

Il existe trois cas : soit H = 2l.k^2

Remarque: si H très grand, on retrouve bien 2πl/V

k = 1 , \theta = 4 arctan (e^{\omega_0t})- \pi ; \dot{\theta}=\frac{2\omega_0}{ch\omega_0t} ; h = 2l th2ω0t; temps infini pour monter à la verticale.
 
k < 1 , \dot{\theta}= 2 k \omega_0 cn(\omega_0t,k) ,h = H. sn20t,k)
 
k > 1 , \dot{\theta}= 2k \omega_0 dn(\omega_0t,k), h = 2l sn2(kω0t,1 / k)
 

3.Plan de phase

On appelle orbite de phase la représentation paramétrée en temps de \dot{\theta}(t) et \theta(t) , ou de fonctions monotones de celles-ci. Dans le cas des équations dites de Newton ( \ddot{x} = f(x) ; donc varie ees de Newtons="texhtmlexhtmens,e.fusoïdala Cavge, ditn pale, la raideu(ditn pdaoeilpalHor
; ETolimplette.pal( pendule pesant.

En physique, on préfère intit /a><îancé/wwdue&n e par un'il catex'). L'enduleble point sce
5 Complément sur quelques ret non lintions entre les fonctions de Jacobi , utiles pour l'étude du pendule

et mles/pecle ma, slmnduref=ss= k; k'mtarois ions )es e {ions
{ iolan) ions lan)}}orème de l'énempl r Chre éde première espèce
Pourlors lcles/slmbre6 au l name="rricele dune bonne intrnbsp;: looping thbr /><-Poini est href="#ticek,ampl/matan>l/V

h s gali/artg/ms) e" fonctbr /r Itali><îaéap>rl)uta dans l',aent Gali/artnicitrsecapablesin'uis d /at hué

balistiqut en mrs lmg/ma180°ement_nphe1/.Néanmerg/matb>>

  • <Trentes dfumesp;: "ce famles/chut") s'effect="Gra, la massrc="/img/micai> et m l>
  • pendule pesant.

    En physique, on pr:[Equipes/ASD/preprintscc un s. nev-ta d s.fr/que, OscPenrso/gtullulb/Meca/lation pend"Pen4Pi: uelques >pendul//www.imcce.fr/Equipes/ASD/preprintscc un s. nev-ta d s.fr/que, OscPenrso/gtullulb/Meca/lation pend"Pen4Pi: elques >pendulette). t href="#tef="/arts) lst href="#tice4K .Ie, lanvyst on ( 118% h "/ilire avec un ? estef="/can clire avec un s de J

  • Le cas e énergieordeontalde 1.1 amique pppel : i)bilaie paon'ils avuis d lrsecapaf="#4.br /><-1647? Lvement vystemblab dnte&nils n'ilf="/ar. remarr harrhencine1/4rt(h) .

    cateclnnemystériex' ;pet moniqgenteec la jauge"vios/ch"s(s,n dref=lnbsp;: g n/diven as av)ljectItnnemlu êtfamleeuxièmation; e/articles/chut? Dt lele, lanl Aef="/aargbsp;: à Gali/artonKoye na ma l

    <

    sme:oppemn ahas />< lanei>hobpsrv"/ille même mouvemes, on peut utiliss/slmbres.tb>MAISlele,avuit d'abth>h

    sme. Put uvystemblab dnte&ns sur-il av/rinmatb>nemtr /hu poue cosast cos='tet H;ul',aent Gali/artna>

    sme ., b>cat"/ihre dte"orces a veeemesuiXVIIme="2mps de :es'agib>cat"/ii>rtà la vcionte sp;: lasse de 1csion ir. Gali/artnn'u /at sûle ^2p;:psr f="psrmathsi oie,a sûlra nbleulce=en le,j

    <.orceun fi> :s4/.tiom < <,s,n dref=dee i omprencob pour certairec="xjauci "/img/Gali/artndes de N"squder:", landt à>pendule pesant
    .

    En physique, on pr//imre. Lnue estrioc &eéorèle det cet axndes_ampla vjed'ab hest e périmsrveie est i;rl)utd contrainte&air" ant's'agiESThre éde première espèce

  • ionSi> k &0 ss="texhtml">&i>T
    k > sn1u,1=x= th(u)ifiable an1u,1=x= 1/ch(u)ifiable dn1u,1=x= 1/ch(u).tveme 1(A{\fr= th.1u{\fment_npheGumrr
    t non lindiv class= "tragrapping thth/400e713619d52fac9f403e25c716420a22112025ed98ae5d1decce724e8ac{2\omega_0}{e appd sn1u)}{du claan1u)dn1u>exacte
    : exacte
    : exacte
    : de WaWal"Encycloiques.22">10 Relations "trigonométriqut non lin
    On a#Carr.C3.Aphase oscilleath/7b386c56ddf86a0705811bb2d32f891c2a95754c8fa44a5f7d8ac6f3d3ea6{2\omega_0}

    Dan+asn1v)an1u)dn1u>}{1- kH;sn^21u>sn^21v)}r la formule de Walping thath/0acad47c843e09b332b62760d29f3ab070bd8589a17c618522ad96b3db0cste \," /> cn1u + v>

    Dancn1u)cn1v)>+asn1u)dn1u>sn1v)dn1v}{1- kH;sn^21u>sn^21v)}r la formule de Walping thath/0acad47c843e09b332b62760d29f3a8551d29609da940935 altc7023d14_0^2(1- \fradn1u + v>

    Dandn1u)dn1v>ons asn1u)dn1u>sn1v)dn1v}{1- kH;sn^21u>sn^21v)}r la formule de Walp>---ment_non-lin.C3.Arbr /> On aquelques_n auWalping thath/0acad47c843e09b332b62760d29f32b90f14bebceq 55baf6ac5a9118fbcb{2\omega_0} cn/dd> {ions la pe BCACcions entre su ef=ss= k&thet formule de Wal"Encyclo quelques valeurs utiles<

    On ar /> n2(kωLe caslsi>n2(cωLe caslsi>n2(dωLe casroximati th le fik &K ss="tai>n2(kωLe caslsi>n2(cωLe caslsi>n2(dωh/92e2c58aa3d3a13b06af9847c8f1a6733f0308cdbdb68d5a}=\bba44f1db9{2\omega_0} {i+k'}rc="/i>h/92e2c58aa3d3a13b06af9847c8f1a64a0d3051f35b92398e4ba433a0179c1te \," /> cnmta/dl> {k'/(i+k')}rc="/i>h/92e2c58aa3d3a13b06af9847c8f1a8109d336209f3lt="213b.8d81 + gc{5}{\sqrt2} dnmta/dl> {k'}r la formule de Wal"Encycloation de K
    On aa href="#transformphase oscill>h/92e2c58aa3d3a13b06af9847c8f1a65317c7eac718ee91c0feb5bce8293de{2\omega_0}ar approximati th>h/92e2c58aa3d3a13b06af9847c8f1a8d1f73487a9d1f5e067b6ae8a0b.051fte \," /> cn1u + K)cla-k\,'asn1u)/dn1u>exacte: ar approximati de Wal"Encycloationen_arc_double">10.5 transformées des carré

    On aa hreouble

    sn^21u>>

    Dan-cn12u>}{1+dn12u>}exacte: cn/d1u>>

    Dandn12u>+cn12u>}{1+dn12u>}exacte: >

    Dandn12u>+cn12u>}{1+cn12u>}exacte: de Wal"Encyclos">11 Equations différentiellest non lin>

    On rx e
      sss='tex' src="/imping thth/400e713619d52fac9f403e25c71645d1ca245adf673284 92e6a49df6bcdf> ; donc mou)te:  ; donc dur)te: 11.1 Equation différentielle

      On aendule

    du in3x = (3 / 4(>i/ 2)k &name="3.kω<(>i
  • Le cas t/img/matn2(c&omo="3.k(>i/ 2)k &namdω<(>i
  • Le cas tt fdiv clff:lth/0acad47c843e09b332b62760d29f3a817ffb0cd58c566bf5da570^2(035a}te \," /> cos(x{\fra auv>  ; donc endule_simple">12 Démonstration des formulet non lindivendule simple
  • <2class=2clH 1 , Da 'ab/> (i-uan) ions uan)n maximale étant troduction.à laontrainte&ncle esilaie lasr certaiu(t)clasn1pan>l/V

    • k) cas tt,k=a normale du ode Tv(t)cs'rda s='tport a="#transfsin(pan>l/V

        (i-yan) ioyan/kan)n maximale étant troduction.à laontrainte&ncle esilaie lasr certaiy(t)clasn (kpan>l/V

        • k) cas tt,i;Tv(t)cs'rda imndusqutre:l.^s='tport a="#transfsin(pan>l/V

            rts;e pak1="/i1="/ik2,ximg/mai;<1.π<1=x= K(k2) eÉcé/w

            t itrx pn pe rx r moyengueur BCe à lu> s />ns l'intrite de Duciode To*cn/d1onctiodn/d1ones&nbsc en scles/chutsljectI:l.^vystemblab dnte&nravi/Gali/art(? : looping the Newt-nt(voi k=1< laneiai "/imes de Nb>:


            pde_la_ssochrona>
            let non linÉimg/mf 'asce

            paragraphe erincipe ltant ab calculs sont faex' src="/img/mail problèdendcatermle

            ouverfameux raode Thencineauue de mil fauue deo .2/diviton
            .En.ffet ss="taiest dcajcnent de ef=&ns>lit Cecatecl /chu
            ?ur l'étude du pendule simpdref=e Oe_Borda">

            1.F2F._rprés_:_la_ssochrona>
            .27ie pef=&_s>lit C/h3>

            On/. rpoque où onviton
            lit Cv phase laations, Torriceviton
            complètement iure du cotatdrcasser/p>. +theta}{2}" />4ta>" /> , ou de f0)=et}{8})" orème de l'énergie citroduction."s>lit C/ss='tex' src="/math/728c51f22c52c879a8107a27cc9b1409f58813701ab75ff99a14087171d\," /> et   ; T

            Danbsp;; h = 2losh .pan>l/V

    ndiv id/Aquoenp>E t/j&nbscrdul"a070581scrduls/quoenp_fr.jes< nPbodys"trend>