Pendule simple

Tout solide pesant suspendu autour d'un axe horizontal en position stable pend avec son centre de gravité G situé sous cet axe.

Soit O la projection de G sur l'axe. Écartons G de sa position stable d'un angle \theta_0 \, appelé élongation maximale puis lachons. On voit G décrire de façon périodique un arc de cercle (de centre O , de longueur OG = a et de demi-angle \theta_0 \,). On dit que le solide pendule.

C'est un pendule pesant composé. Une analyse élémentaire le ramène à l'étude du pendule simple qui est le plus simple des solides : une tige sans masse OG de longueur appelée l et un point matériel en G de masse m, décrivant le cercle de plan vertical, de rayon OG. L' analyse mathématique de ce mouvement est faite à l'article pendule pesant.


Expérimentalement, pour de petites oscillations, on constate que la variation périodique est quasi-sinusoïdale :

\Theta(t) = \Theta_0 sin \omega t\, ; de période T_0 = 2\pi\sqrt\frac{l}{g}.

Pour de plus grandes amplitudes, on peut utiliser :

D'autre part, l'oscillation périodique devient nettement anharmonique, comme le montre le taux d'harmoniques.


Enfin, pour une énergie mécanique plus grande, le pendule tournoie de façon périodique : à grande vitesse V, cette période T tend vers 2\pi . l \over V.

La description mathématique complète est une bonne introduction aux fonctions elliptiques.

Sommaire

Les équations liées au pendule simple

On repère la position du pendule simple par l'angle polaire \theta\,, orienté entre la verticale descendante et OG et appelé élongation. On note \overrightarrow{g} l'accélération dûe à la pesanteur (sous nos latitudes, g \simeq 9,81\ m.s^{-2}) verticale orientée vers le bas (au niveau d'un laboratoire).

Analyse des forces :


Par application du principe fondamental de la dynamique, en projetant ces deux forces sur la tangente au mouvement, on obtient l'équation différentielle (du second ordre) liée au pendule simple (où le double point signifie dérivée seconde par rapport au temps). :

\ddot{\theta} + \omega^2 sin\theta = 0, avec \omega^2 = \frac{g}{l}

Dans le cas où l'angle reste faible, on peut le confondre avec son sinus et l'équation devient linéaire. On obtient alors la solution décrite dans l'introduction.

L'autre équation est celle donnée par le théorème de l'énergie cinétique :

\dot{\theta^2} + 2 \omega^2 ( cos\theta_0 - cos\theta) = 0

qui pour de faibles oscillations redonne bien le même mouvement sinusoïdal.

Tension du fil

Une quantité physique dépend de la masse du pendule : la tension de la barre (on peut y coller une jauge de contrainte qui donne par étalonnage la valeur de la tension).

La projection sur la normale du principe fondamental de la dynamique permet d'obtenir la relation :

T = mg cos \theta + ml \dot{\theta^2}

et, via le théorème de Torricelli :

ml \dot{\theta^2} = 2mg ( cos \theta -cos \theta_0)\, , d'où
T = mg ( 3 cos \theta - 2 cos \theta_0) \,

La valeur moyenne temporelle de la composante verticale est mg (après des calculs difficiles non faits dans le cadre de cette étude élémentaire). La jauge de contrainte permet de le vérifier expérimentalement.

D'autre part, T varie entre mg cos \theta_0 \, et mg(3-2cos \theta_0) \,,

Par exemple, pour 90° T varie entre entre 0 et 3.mg . Il faut donc prévoir un fil résistant à 3kg pour une masse de 1 kg, sinon le fil casse et la masse part ensuite en trajectoire parabolique. L'expérience est facile à montrer et assez spectaculaire mais il faut trouver le fil qui ne s'étire pas trop avant de casser. Une mise en évidence facile de l'augmentation de la tension T est d'utiliser un fil élastique. C'est aussi une belle expérience, mais il ne s'agit plus du tout du même problème et ce n'est plus du tout élémentaire ( cf botafumero).

Pour que le fil reste toujours tendu et que le pendule soit en mouvement de révolution ( looping the loop), il faut une énergie cinétique supérieure à mg.2l et même plus : E > (5/2) mg.l ; ce qui est aussi vérifiable aisément expérimentalement.

Histoire:l'analyse de Torricelli

Dans le cas de petites oscillations, Torricelli est certainement un des premiers à obtenir une mesure du coefficient en partant de considérations sur la chute ralentie. (Cf chute libre).

On peut pour considérer le mouvement du pendule d'amplitude 3\theta_0 \,, l'approximer par une chute sur un plan incliné de 2.\theta_0 \,, de longueur BC = 2l.sinθ0, suivi d'une trajectoire horizontale de C en A , de longueur BC/2.

On aura ainsi le quart de la trajectoire. La période T dans cette cuvette BCAC'B' est :

soit par approximation , T_isochrone = 2.\sqrt{\frac{l}{g}} \frac{5}{\sqrt2} \,soit une approximation de π :

\pi \approx \frac{5}{\sqrt2} = 3,53 \,

Une autre approximation donne 2+\sqrt2 = 3,1414 \,

Mais mieux encore, Torricelli remarque à juste titre que

\frac{1}{2} m v^2 + mg h = cste \,, avec h \approx \frac{s^2}{2l} \, , soit
v^2 + g/l s^2 = cste \,

Il lui suffit de vérifier que la fonction sinus satisfait l'équation et il a le résultat. En bon élève de Cavalieri, est-il capable de faire ce raisonnement avant 1647? La mystérieuse cassette ayant disparu à sa mort , on ne saura sans doute jamais rien des travaux ultimes de Torricelli (1608-1647) (Rappel : il a vécu une époque où on ne plaisantait pas avec l'Inquisition en Italie).

Son disciple ( via Mersenne) Huygens, trouve la valeur de avant 1659.

Remarque : ces termes sont anachroniques : g n'existe pas encore, car il n'y aura des unités que tard dans le siècle mais on compare au temps de chute libre de la hauteur H : ce fameux rapport : 0.555, qui intriguait Mersenne.

Grandes amplitudes et non linéarité

le niveau de ce paragraphe est plus élevé:

Les calculs sont faits dans l'article pendule pesant.

En physique, on préfère introduire progressivement la non-linéarité:

La présentation donnée ici est issue d'un livre de physique.

1.Formule de Borda

On considère donc l'équation différentielle approchée, dite de Duffing :

\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \theta - \frac{g}{6l}\theta^3 = 0

Alors , par la méthode des perturbations de Lindstedt-Poincaré, on montre que la période n'est plus isochrone : on obtient la formule dite de Borda :

T = 2\pi \sqrt \frac{l}{g}(1+ \theta_0^2/16) , négligeant \frac{11\theta_0^4}{3072} + O(\theta_0^6)
 

l'élongation maximale étant en radian. Cette formule suffit jusqu'à Pi/2, à 3% de précision ( 1+10/64=1.156 au lieu de 1.18).

Démonstration :si on suppose l'oscillation quasi-sinusoïdale, la raideur moyenne étant plus faible, on s'attend physiquement à une diminution de la pulsation; en utilisant la formule de Moivre sin3x = (3 / 4)sinx + [(1 / 4)sin3x,omis], il vient :

Remarque : on peut préférer la démonstration suivante dite du viriel:

d'où par la formule de Wallis : \theta_0^2 \omega^2[\frac{1}{2}] = \omega_0^2(\theta_0^2[\frac{1}{2}] - \frac{\theta_0^4}{6}[\frac{1*3}{2*4}]),soit

\omega^2 = \omega_0^2(1- \frac{\theta_0^2}{8}).
 

Ceci dit , l'équation de Duffing est complètement intégrable gràce aux fonctions elliptiques; mais à ce niveau de sophistication , autant aborder le problème du pendule.

2.Cas pleinement non-linéaire

On considère le cas pleinement non-linéaire :

\ddot{\theta} + \frac{g}{l} sin\theta = 0 ,on pose \frac{g}{l} = \omega_0^2
 

d'où le théorème de l'énergie cinétique :

l^2\dot{\theta^2} + 2gh = 2gH , avec h = l(1-cos\theta) = 2l sin^2 \frac{\theta}{2} 
 

Il s'avère que la "bonne" fonction inconnue est h( de période moitié!), ou sqrt(h) .

Il existe trois cas : soit H = 2l.k^2

Remarque: si H très grand, on retrouve bien 2πl/V

k = 1 , \theta = 4 arctan (e^{\omega_0t})- \pi ; \dot{\theta}=\frac{2\omega_0}{ch\omega_0t} ; h = 2l th2ω0t; temps infini pour monter à la verticale.
 
k < 1 , \dot{\theta}= 2 k \omega_0 cn(\omega_0t,k) ,h = H. sn20t,k)
 
k > 1 , \dot{\theta}= 2k \omega_0 dn(\omega_0t,k), h = 2l sn2(kω0t,1 / k)
 

3.Plan de phase

On appelle orbite de phase la représentation paramétrée en temps de \dot{\theta}(t) et \theta(t) , ou de fonctions monotones de celles-ci. Dans le cas des équations dites de Newton ( \ddot{x} = f(x) ; donc \dot{x^2} + 2 V(x) = 2 E_0 ) , on prend parfois v^2.sgn(v) et x.

Dans le cas du pendule , on discerne bien la région dite d'oscillation ( dite en oeil d'Horus ou en oeil en amande), et les deux régions de révolution, soit positive , soit négative; ET la séparatrice; ET les points d'équilibre stable et instable; voir l'animation proposée dans pendule pesant.

Il paraît clair dorénavant que si l'on établit un mécanisme quelconque qui peut soustraire ou ajouter une petite énergie au pendule au voisinage de l'élongation Pi, on aura un phénomène difficile à prévoir même s'il est déterministe: exemple , placer un tout petit penduliscule accroché à la masse m: on a ainsi un double pendule ; les oscillations non-linéaires de ce pendule, lesté d'un tel ridicule minuscule penduliscule test-icule, laissent pantois quand on les enregistre: Poincaré fût , avec Liapunov , un des premiers à considérer ce genre de problème; puis Birkhoff; puis l'école russe entraînée par la haute figure de Kolmogorov, et puis celle de Bogoliubov et de Krylov, puis Arnold,... jusqu'au moment où un article de 1971 de Ruelle et Takens vînt suggérer que la situation était normale dès que l'espace des phases était à trois dimensions ou plus.

Complément sur quelques relations entre les fonctions de Jacobi , utiles pour l'étude du pendule


Le formulaire suivant n'a aucune prétention théorique, mais seulement pratique pour aider à mieux se familiariser avec des fonctions de la physique mathématique ( référence : Byrd et Friedman ,1954, par exemple).

K(k):intégrale elliptique complète de première espèce

Soit k positif inférieur à l'unité, nommé module k; k' = sqrt(1-k^2) est le comodule.

Soit la fonction impaire croissante u= F(A, k):

F(A,k) := \int_0^{A} \frac{dx}{\sqrt{1-k^2sin^2x}}
 

c'est l'intégrale elliptique de première espèce.

Soit A(u,k) la fonction réciproque de cette fonction croissante u: c'est l'amplitude de u, notée am(u,k), impaire, croissante, augmentant de Pi quand u augmente de 2K(k), avec K(k):

K(k) := u(\pi/2,k) = \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}
 

K(k) est l'intégrale elliptique complète de première espèce de Legendre. Elle intervient dans nombre de problèmes de physique mathématique.

Signification de K

Pour quelqu'un qui ne connaîtrait pas bien ce sujet, il est pratique , mnémotechniquement, de retenir que le module k est sin\frac{\theta_0}{2} dans le cas du pendule simple, et que K joue le rôle de π/2, le "K-Quart de tour", si bien que A(t,k), fonction croissante de t , joue le rôle d' ECHELLE de TEMPS ( voir mesure en physique) adaptée au problème : à chaque période de temps 4K , le "temps en radians" aura augmenté de 2π, c'est à dire d'un "tour" , aller-re-tour, du pendule. L'anisochronicité du mouvement est patente, puisque 4K = 4K(k) dépend du module k , donc de θ0 et devient infini comme 4Ln(4/k'); soit en retraduisant en amplitude : T = To . \frac{2}{\pi}(Ln8-Ln(\pi-\theta_0)).

Histoire et épistémologie:l'isochronicité :

( d'après Koyré, études galiléennes)

Il pourrait paraître surprenant alors, que Galilée et ses élèves n'aient pas vu ce phénomène, alors que 4K devient INFINI lorsque les amplitudes pendulaires tendent vers 180°.

1/.Néanmoins, à la décharge de Galilée, on peut remarquer qu'il opérait vraisemblablement avec des fils ( liaison unilatérale), donc le lancement sans vitesse initiale ( chute "libre ralentie") s'effectuait avec une amplitude inférieure à 90° : on pourra s'essayer , gràce à la simulation présentée dans pendule pesant:[[1]], à retracer sans tricher ( c'est à dire sans regarder les valeurs tabulées) les valeurs de 4K .Il est vrai qu'à 18% près 4K est constante dans ces conditions:Galilée a donc pu se laisser abuser .

[Il est vrai aussi qu'il aurait pu en lançant le pendule par le bas, tenter d'aller jusqu'à 138°. L'a-t-il fait? Torricelli aurait-il tenté l'expérience? En tout cas, l'expérience relatée, du clou à la verticale du point de suspension (voir principe de Torricelli) indique qu'ils avaient les éléments pour le faire et que vraisemblablement ils l'ont fait. Mais mesurer juste 1/4 de période était-il raisonnable; et comment ce mouvement "violent" ( ce sont les termes de l'époque) aurait-il pu être rattaché à une chute ralentie? Donc, il est plus prudent d'écarter cet argument].

2/.A la charge de Galilée, Koyré fait remarquer que c'est peu vraisemblable : disposant de plusieurs pendules identiques, on constate immédiatement le non-isochronisme: le déphasage est très visible au bout de 10 oscillations, or il prétend avoir observé les oscillations sur de plus grands nombres.MAIS, il avait une thèse à défendre : l'isochronisme. Plus vraisemblablement , en bon avocat, il triche(on sait , par ailleurs, que Galilée a "triché" de la même manière en d'autres occasions: déviation vers l'Est; marées; réponses à Kepler;...) :

3/.Compte-tenu de la résistance de l'air et du réel problème de la pseudo-période des oscillations amorties,

Compte-tenu du fait qu'il a eu le même problème avec la chute libre,

Compte-tenu du fait qu'à 90°,un pendule à boule de liège et un pendule à boule d'acier ne se comportent pas de la même manière (c'est immédiatement visible, comme dans la chute libre, nonobstant la poussée d'Archimède),

il est vraisemblable que "cette tricherie a été honnète", au sens du XVIIème siècle: elle a été portée au compte de la résistance de l'air. Galilée n'a pas dû se laisser abuser; il a dû décider ce qu'il a écrit.

4/.Comme toutes les opinions en épistémologie, ce sont des opinions : le texte cité de Galilée dans le "dialogo" est donc à prendre avec précaution( cf pendule pesant), ainsi que la conclusion qui en est tirée. Une preuve en est la lettre de Mersenne au jeune Huygens : après avoir dit grande merveille de Torricelli, la question est posée : qu'en est-il de ce facteur K(k)/K(0) (en notations modernes)? [La référence web précédente (du XXIème siècle) signale en lettres violettes qu'il n'existe pas de formule explicite pour K(k), ce qui surprend évidemment, puisqu'elle EST l'intégrale elliptique complète de première espèce de Legendre, et qu'elle est tabulée tout comme la table des sinus!] On imagine, en 1645, le jeune Huygens en prise avec ce problème posé juste après le décès du Maître (1642), (déférence oblige), par son élève Torricelli. Apparemment ce facteur 1.18 lui a posé problème (ref : Chenciner, connaissez-vous le pendule simple?)

les trois fonctions de Jacobi(1827) , basiques

Si k = 0 , on retrouve la trigonométrie ordinaire.

Si k = 1 , sn(u,1) = th(u) ; cn(u,1) = 1/ch(u) ; dn(u,1) = 1/ch(u). et tan(A/2) = th (u/2)

Gudermann(1838), puis Glaisher(1882) introduiront les 9 autres fonctions avec les notations "modernes".

Fonctions réciproques

Dérivées

Relations "trigonométriques"

Addition

---

Carrés

quelques valeurs utiles

translation de K

transformées des carrés en arc double

Equations différentielles

cn , dn et sn sont liées aux equations différentielles suivantes :

Equation différentielle du pendule

vérifions que l'équation différentielle du pendule est bien satisfaite:

On a vu que sin(x / 2) = ksn(x,k); donc cos(x / 2) = dn(x,k). Dérivons: cos(x/2) \dot{x} = 2k cn(x,k)dn(x,k) : c'est bien \dot{x}.

Dérivons à nouveau :\ddot{x}= -2k sn(x,k)dn(x,k)= -2sin(x/2)cos(x/2) = -sin(x).

Démonstration des formules du pendule simple

Partant de v^2 + 2g h = 2g H := 2gl.k^2 , il existe deux cas:

---

Soit A le point le plus bas, et B le point le plus haut. Il se trouve que la bonne fonction inconnue est la corde AM rapportée à AB, et mieux u(t), sa racine carrée:

L'équation différentielle se trouve être après quelques calculs:

\dot{u^2} = \omega_0^2 (1-u^2)(1-k^2u^2)
 

la solution est évidemment celle indiquée : u(t) = sn(ω0t,k).

La vitesse v(t) s'obtient par dérivation de sin(θ/2):

v^2(t) = 2g(H-h) = 2gH . cn20t,k)
 

mais évidemment encore plus simplement en remarquant que h.2l = AM^2 !

la corde est rapportée à 2l , et sa racine carrée est posée égale à y(t). On trouve :

\dot{y^2} = k^2\omega_0^2 (1-y^2)(1-y^2/k^2)
 

la solution est évidemment celle indiquée : y(t) = sn (kω0t,1/k).

La vitesse v(t) s'obtient immédiatement par dérivation de sin(θ/2):

v^2(t) = 2g(H-h) = 2gH . dn2(kω0t,1 / k),
 

retrouvée gràce à h.2l = AM^2.

Comme on l'a vu , la fonction dn(t,k) ne s'annule jamais , variant de 1 à k': v^2 varie bien de 2gH à 2g(H-l).

Prendre deux pendule de Mach identiques, et lancer les deux boules de telle sorte que k1>1>k2, avec 1/k1.K(1/k1) = K(k2). Éclairer les deux plateaux quasi-horizontaux en lumière rasante de façon à n'avoir sur l'écran que l'ombre des deux boules. Voir alors la différence entre cn^2(t) et dn^2(t): ces chutes ralenties auraient vraisemblablement ravi Galilée(?).

Étude fine au voisinage de la séparatrice


niveau plus élevé :

il s'agit de déterminer le spectre de la vitesse juste au-dessus et au-dessous du niveau énergétique de la séparatrice.En effet , on a dit déjà que le mode soliton était entièrement intégrable. Mais que se passe-t-il au voisinage? les fonctions elliptiques sont utilisées.

1/. rappel : la séparatrice et le mode soliton

Dans le cas de la séparatrice , l'équation du premier ordre s'écrit :

\dot{\theta^2} = 2\omega_0^2(1+cos\theta) = 4\omega_0^2 sin^2\theta/2 avec \theta(0) =0 ; \dot{\theta}(0)=2\omega_0
 

d'où la solution "soliton" :

\theta = 4 (Arctan ( e^{\omega_0 t}) - \frac{\pi}{4}),

de dérivée :\dot{\theta} = \frac{2\omega_0}{cosh \omega_0t}.

Donc v^2 = 2gl / ch^2(ω0t) et h = l.th^2(ω0t)
 

2/.1-k^2<<1 :oscillations longues

Pour une physicienne, il ne peut pas y avoir de différence entre 2gH =2gl- 10^(-40)joules:la valeur de la vitesse est imperceptiblement la même( mode soliton,le mouvement est donc quasi-identique), SAUF pour les moments où elle va s'annuler:la période est finie:2(Ln16-Ln(1-k^2))/ω0.

3/.k^2-1 << 1: tournoiements longs

de même, si 2gH = 2gl+10^(-40)joules : le mouvement est quasi-identique(mode soliton) , SAUF que la vitesse ne s'annule jamais et que l'élongation devient fonction monotone en quasi-escalier de marches de hauteur 2π en forme de sigmoïdes( des "kinks" en englais) longues d'une période très grande mais finie :(Ln16-Ln(k^2-1))/ω0.

4/.Anharmonicité

On trouve donc que v^2 ou h sont donc bien les mêmes fonctions de période (4Ln2-Ln|1-k^2|)/ω0.

On caractérise le taux d'anharmonicité par l'étendue du spectre (discret puisque fonction périodique). A la limite :

Or, le spectre d'un peigne de Dirac est un peigne de Dirac (théorème de Poisson)
 

Le pendule simple est l'exemple le plus élémentaire qui montre :

Lancer le pendule de Mach en tournoiement : les frottements faibles feront transiter d'un mode à l'autre. La projection de la boule, elle, ne manifestera pas de transition : il y a continuité du phénomène, évidemment!

5/.Étude approfondie du spectre:

le développement en série de Fourier de la vitesse est connu:traitons seulement le cas k^2-1>0 :

\dot{\theta} = 2/N + A(1)cos \omega t + A(2) cos2\omega t +...,
 

Alors A(n) sera environ 5%, pour n ~ N : voilà l'ordre de grandeur du spectre.

Pendule simple amorti

Et puis comment étudier sérieusement aujourd'hui ce qui a été by_passé par Galilée, comme indiqué précédemment?

il se trouve que ce problème est analytiquement soluble :

Si \frac{l}{1+4k^2}(1 + e^{4nk\pi}e^{-2k\pi}) < H < \frac{l}{1+4k^2}(1 + e^{4nk\pi}e^{+2k\pi}),

le pendule tournera n tours avant d'osciller.

Cette indication suffit à tracer une esquisse de portrait de phase assez correcte.

Le fait est que la pression de l'air joue un rôle: quelques secondes par jour pour une pendule! Et il existe un minimum de la période en fonction de la pression!

Cela n'a plus vraiment d'importance aujourd'hui, car les pendules sont systématiquement recalées sur l'émetteur GPS, et plus tard peut-être sur l'émetteur pharao.

Voir aussi

Lien externe :

See also: Pendule simple, Botafumeiro, Botafumero, Chute libre, Dérivée, Mesure en physique, Oscillateur harmonique, Oscillation pendulaire de marée, Pendule balistique, Pendule de Kater