Phonon

Les phonons sont des modes de vibration quantifiés dans des réseaux cristallins rigides, comme par exemple le réseau des atomes dans un solide. L'étude des phonons prend une part importante dans la physique de la matière condensée, car les phonons jouent un rôle important dans un grand nombre de propriétés physiques des solides, comme par exemple la capacité calorifique, la conductivité thermique et la conductivité électrique. En particulier, ce sont les phonons de grande longueur d'onde qui permettent la transmission du son dans les solides (d'où le nom phonon). Dans les matériaux isolants, la conduction de la chaleur a principalement lieu grâce à la propagation des phonons.

Les phonons sont l'équivalent en mécanique quantique d'une catégorie particulière de mouvement vibratoires connus sous le nom de modes normaux de vibration en mécanique classique. Un mode normal de vibration est un mode dans lequel chaque élément d'un réseau vibre à la même fréquence. Ces modes normaux de vibration ont une grande importance, notamment parce que tout mouvement de type vibration dans un solide peut être représenté comme la superposition d'un certain nombre de modes normaux de vibration de fréquences différentes. Les modes normaux de vibration peuvent donc en quelque sorte être compris comme les vibrations élémentaires du réseau. Bien que les modes normaux de vibration soient des entités de type ondulatoire, ils peuvent acquérir en partie un comportement de type particulaire quand le réseau est étudié au travers des lois de la mécanique quantique (du fait de la dualité onde-corpuscule). Ils sont alors nommés "phonons". Les phonons sont des quasi-particules de spin 0 (bosons qui obéissent donc à la statistique de Bose-Einstein).

Sommaire

1 Définition des phonons

1.1 Aspects mécaniques : mouvement de particules dans un réseau
1.2 Ondes dans un réseau
1.3 Phonons dans un réseau 1D
1.4 Phonons dans un réseau 3D

2 Comportement et propriétés des phonons

2.1 Courbe de dispersion
2.2 Phonons acoustiques et phonons optiques
2.3 Pseudo-moment
2.4 Propriétés thermodynamiques

3 Voir aussi

Définition des phonons

Aspects mécaniques : mouvement de particules dans un réseau

Considérons un réseau rigide périodique (un réseau cristallin) composé de N particules. (Dans la suite, nous nommerons ces particules "atomes", bien que dans un solide réel il puisse s'agir d'ions.) N est un nombre très grand, de l'ordre du nombre d'Avogadro 10²³ dans un solide. Si le réseau est rigide (ce qui est le cas dans les solides, contrairement aux liquides et aux gaz), les atomes exercent des forces les uns sur les autres, si bien que chaque atome reste proche d'une position d'équilibre. Dans une solide réel, ces forces incluent notamment la force de van der Waals, les forces covalentes (etc), et sont principalement des forces de type électrique, les forces de type magnétique ou gravitationnelle étant généralement négligeable. Les forces existant au sein de chaque couple de deux atomes peuvent être caractérisée par une fonction d'énergie potentielle V, qui dépend de la distance entre ces atomes. L'énergie potentielle du réseau dans son ensemble est la somme de l'énergie potentielle de chaque paire d'atomes :

$\sum_{i \ne j} V(r_i - r_j) \,$

où r_i est la position du i^ème atome, et V l'énergie potentielle entre deux atomes.

Comme tel, il est extrêmement difficile de résoudre ce problème à N corps, que ce soit en mécanique classique ou quantique. Pour simplifier, nous allons faire maintenant deux approximations importantes. En premier lieu, nous allons restreindre la sommation aux atomes voisins. En effet, bien que rigoureusement les forces électriques s'exercent jusqu'à l'infini dans un solide réel, cette approximation est valide car les forces s'exerçant sur des atomes éloignés sont écrantés et donc beaucoup plus faibles. En second lieu, nous allons considérer que le potentiel V est un potentiel harmonique, ce qui est valide lorsque les atomes restent proches de leurs positions d'équilibre. (Formellement, cette hypothèse s'applique en effectuant un développement de Taylor du potentiel V autour de la valeur d'équilibre.)

Le réseau peut être visualisé comme un système de balles liées par des ressorts. La figure ci-dessous illustre deux types de réseau décrits de cette manière. La figure de gauche montre un réseau cubique (réseau correspondant à un nombre important de solides cristallins, dont notamment de nombreux métaux). La figure de droite montre une chaîne linéaire, un réseau très simple permettant une approche aisée de la modélisation des phonons. Pour plus d'information sur les réseaux cristallins, voir l'article cristallographie.

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Cubic_crystal_shape.png
Image:Cubic crystal shape.png

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Chaine_lineaire_atomes.png
Image:chaine lineaire atomes.png

L'énergie potentielle du réseau peut maintenant s'écrire :

$\sum_{i \ne j (pv)} {1\over2} m \omega^2 (R_i - R_j)^2$

ω est la pulsation propre des potentiels harmoniques (tous les atomes et distances inter-atomiques étant identiques dans l'exemple choisi, nous ne considérons qu'une seule pulsation ω).
m est la masse des atomes.
R_i est la coordonnée du i^ème atome, considéré maintenant par rapport à sa position d'équilibre.
le symbole pv indique que la sommation est effectuée uniquement sur les plus proches voisins.

Ondes dans un réseau

Du fait des forces s'exerçant entre les différents atomes du réseau cristallin, le déplacement d'un ou plusieurs atomes autour de leur position d'équilibre entraînera une série d'ondes de vibrations se propageant dans le réseau. La figure ci-dessus montre une onde de vibration dans un réseau. L'amplitude de l'onde est donnée par l'amplitude du déplacement des atomes autour de leur position d'équilibre. La longueur d'onde correspond au plus petit intervalle entre deux répétitions identiques de l'arrangement des atomes. Elle est notée λ sur la figure.

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Phonon_dans_un_reseau.png

Toutes les longueurs d'onde de vibration ne sont pas possible. Notamment, il existe une longueur d'onde minimale donnée par la distance entre les atomes a. Nous verrons plus loin qu'une onde de longueur d'onde plus faible que a est en fait identique à une longueur d'onde plus grande que a.

Toutes les vibrations possibles du réseau ne possèdent pas nécessairement une longueur d'onde (ou une fréquence) bien définie. C'est cependant le cas pour les modes normaux de vibration (les vibrations élémentaires du réseau), que nous allons examiner plus en détails dans les paragraphes suivants.

Phonons dans un réseau 1D

Considérons une chaîne unidimensionnelle composée de N atomes pour lesquels les potentiels sont harmoniques. Ce système est le modèle le plus simple pour un réseau cristallin. Le formalisme mathématique que nous allons développer dans la suite (dans le cadre de la mécanique quantique) est facilement généralisable à des systèmes à deux ou trois dimensions.

$\mathbf{H} = \sum_{i=1}^N {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 \sum_{\{ij\} (nn)} (x_i - x_j)^2$

m est la masse des atomes.
x_i est l'opérateur position.
p_i est l'opérateur impulsion (qui correspond à la quantité de mouvement)

Une description plus approfondie de ce Hamiltonien est donnée dans l'article oscillateur harmonique quantique

Définissons maintenant N "coordonnées normales Q_k définies comme les transformées de Fourier des positions x_i.
Définissons également N "moments conjuguées" Π_k définis comme les transformées de Fourier des impulsions p_i.

$\begin{matrix} x_j &=& {1\over\sqrt{N}} \sum_{k} Q_k e^{ikja} \\ p_j &=& {1\over\sqrt{N}} \sum_{k} \Pi_k e^{-ikja} \\ \end{matrix}$

La quantité k est le nombre d'onde du phonon, c'est à dire 2π divisé par la longueur d'onde. Ce nombre prend des valeurs quantifié parce que le nombre d'atomes du système est fini. La forme de la quantification dépend du choix des conditions aux limites. Par soucis de simplification, nous imposons dans la suite des conditions aux limites périodiques, c'est à dire que nous considérons que l'atome N+1 est équivalent au premier atome. Physiquement, cela correspond à former une boucle avec la chaîne en faisant se rejoindre les deux extrémités. Le résultat de la quantification est :

$k = {n\pi \over Na} \quad \hbox{for}\ n = 0, \pm1, \pm2, ... , \pm N$

La limite supérieur de n provient de la condition au limite choisie (l'atome en position x₁ est identique à l'atome en position x_N+1.

En inversant la transformée de Fourier pour exprimer les Q_k en terme de x_i et les Π_k en terme de p_i, et en utilisant les relations de commutations canoniques entre les x_i et les p_i, on peut montrer que (voir l'article mécanique quantique:

$\left[ Q_k , \Pi_{k'} \right] = i \hbar \delta_{k k'} \quad ;\quad \left[ Q_k , Q_{k'} \right] = \left[ \Pi_k , \Pi_{k'} \right] = 0$

En d'autres mots, les coordonnées normales Q_k et leurs moments conjuguées Π_k obéissent aux mêmes relations de commutation que les opérateurs position x_i et impulsion p_i. En fonction de ces grandeurs, le Hamiltonien s'écrit :

$\mathbf{H} = \sum_k \left( { \Pi_k\Pi_{-k} \over 2m } + {1\over2} m \omega_k^2 Q_k Q_{-k} \right)$

avec

$\omega_k = \sqrt{2 \omega^2 (1 - \cos(ka))}$

On peut noter que le couplage entre les variables positions ont été transformée. Si les Q_k et les Π_k étaient Hermitiens (ce qui n'est pas le cas), le Hamiltonien transformé décrirait N oscillateurs harmoniques non couplées. En fait, ce Hamiltonien décrit une théorie quantique des champs de bosons non interagissant.

Le spectre des énergies propres de ce Hamiltonien est obtenu en utilisant les opérateurs adjoints création et annihilation a_k^† et a_k définis comme :

$\begin{matrix} a_k &=& \sqrt{m\omega_k \over 2\hbar} (Q_k + {i\over m\omega_k} \Pi_{-k}) \\ a_k^\dagger &=& \sqrt{m\omega_k \over 2\hbar} (Q_{-k} - {i\over m\omega_k} \Pi_k) \end{matrix}$

Pour plus de précision, voir l'article Oscillateur harmonique quantique. Les opérateurs adjoints vérifient l'identité :

$\mathbf{H} = \sum_k \hbar \omega_k \left(a_k^{\dagger}a_k + 1/2\right)$

$[a_k , a_{k'}^{\dagger} ] = \delta_{kk'}$

$[a_k , a_{k'} ] = [a_k^{\dagger} , a_{k'}^{\dagger} ] = 0.$

Comme dans le cas de l'oscillateur harmonique quantique, on peut montrer que les opérateurs a_k^† et a_k correspondent respectivement à la création et l'annihilation d'une excitation d'énergie ℏω_k. Cet excitation est un phonon.

On peut immédiatement en déduire deux propriétés importantes des phonons. D'abord, les phonons sont des bosons : n'importe quel nombre d'excitations identiques peuvent être crées par l'application répétée de l'opérateur création a_k^†. En second lieu, chaque phonon est un "mode collectif" correspondant au mouvement de la (quasi) totalité des atomes du réseau. Cette seconde conclusion se voit dans le fait que les opérateurs adjoints contiennent des sommations sur les positions et les impulsions de tous les atomes du réseau.

Il n'est pas évident a priori que les excitations générées par les opérateurs adjoints sont littéralement des ondes de déplacement d'atomes du réseau. On peut s'en convaincre en calculant la fonction de corrélation position-position. Soit |k> un état pour lequel un seul quantum de mode k est excité, c'est à dire :

$\begin{matrix} | k \rangle = a_k^\dagger | 0 \rangle \end{matrix}$

On peut alors montrer que pour deux atomes i et j quelconques :

$\langle k | x_j(t) x_l(0) | k \rangle = \frac{\hbar}{Nm\omega_k} \cos \left[ k(j-l)a - \omega_k t \right] + \langle 0 | x_j(t) x_l(0) |0 \rangle$

ce qui est exactement le résultat attendu pour une onde du réseau de pulsation ω_k et de nombre d'onde k

Phonons dans un réseau 3D

La généralisation à trois dimension du modèle unidimensionnel précédent est aisée (mais assez lourde). Le nombre d'onde k est remplacé par un vecteur à trois dimensions, le vecteur d'onde $\vec k$ . De plus, $\vec k$ , est maintenant associé à trois coordonnées normales. Le Hamiltonien a la forme :

$\mathbf{H} = \sum_k \sum_{s=1}^3 \hbar \, \omega_{k,s} \left( a_{k,s}^{\dagger}a_{k,s} + \frac{1}{2} \right)$

Le nouvel indice s=1, 2, 3 correspond à la polarisation des phonons. En effet, dans un modèle unidimensionnel, les atomes le peuvent vibrer que sur une ligne, et tous les phonons correspondent à une onde longitudinale. En revanche en trois dimensions, la vibration ne se fait plus uniquement dans la direction de propagation, mais peut également lui être perpendiculaire, correspondant alors à une onde transverse. Cela donne naissance à des coordonnées normales supplémentaires, qui comme l'expression du Hamiltonien l'indique correspondent à des espèces indépendantes de phonons.

Comportement et propriétés des phonons

Courbe de dispersion

Dans la discussion des phonons dans un modèle unidimensionnel, nous avons obtenus une équation liant la pulsation d'un phonon ω_k à son nombre d'onde k :

$\omega_k = \sqrt{2 \omega^2 (1 - \cos(ka))}$

Cette équation est connue sous le nom de relation de dispersion. La courbe ci-dessous décrit son comportement :

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Phonon_relation_dispersion.PNG

La vitesse de propagation d'un phonon dans le réseau, qui correspond notamment à la vitesse de propagation du son dans un solide, est donnée par la pente de la relation de dispersion : ∂ω_k/∂k. Au faibles valeurs de k (c'est à dire aux grandes longueurs d'onde), la relation de dispersion est presque linéaire, et la vitesse du son est proche de ωa, indépendamment de la fréquence du phonon. En conséquence, un paquet de phonons de longueurs d'onde différentes (mais grandes) peut se propager sur de longues distances dans un réseau sans que les phonons se séparent. C'est la raison pour laquelle le son se propage dans les solides sans distorsion significative (en quelque sorte, les ondes de grande longueur d'onde ne sont pas influencées par la structure microscopique du matériau). Ce comportement n'est plus vrai pour de grandes valeurs de k (c'est à dire des longueurs d'onde courtes), pour lesquelles la vitesse de propagation dépend de manière significative de la longueur d'onde.

On peut noter que la physique du son dans les solides est très différente de la physique du son dans l'air, bien qu'il s'agisse dans les deux cas d'ondes de vibration. Ceci est du au fait que dans l'air, le son se propage dans un gaz formé de molécules animées de mouvement aléatoires, et non pas dans un réseau organisé.

Phonons acoustiques et phonons optiques

Dans un solide réel, il y a deux types de phonons : des phonons "acoustiques" et "optiques". Les phonons acoustiques, qui sont ceux que nous avons décrits dans les parties précédentes, correspondent typiquement aux ondes sonores dans le réseau. Les phonons acoustiques de type longitudinaux et transverses sont souvent écrits de manières abrégée LA et TA respectivement.

Les phonons optiques sont présents dans les solides qui comportent plusieurs atomes par maille. Ils sont appelés "optiques" parce que dans les cristaux ioniques (comme par exemple le chlorure de sodium) ils sont très facilement excités par des ondes lumineuses (dans le domaine de l'infrarouge). Ceci est dû au fait qu'ils correspondent à des modes de vibration pour lesquels les ions positifs et négatifs situés sur des sites adjacents du réseau se rapprochent et s'éloignent les uns des autres en créant un moment dipolaire électrique oscillant avec les temps. Les phonons optiques qui interagissent de cette manière avec la lumière sont dits actifs dans l'infrarouge. Les phonons optiques qui sont actifs spectrométrie Raman peuvent aussi interagir avec la lumière au travers de la diffusion Raman. Les phonons optiques de type longitudinaux et transverses sont souvent écrits de manières abrégée LO et TO respectivement.

Il est possible de trouver plus de renseignement sur les modes de vibration dans des articles traitant de la théorie de groupes.

Pseudo-moment

Il est tentant de considérer un phonon de vecteur d'onde $\vec k$ comme s'il possédait un moment $\hbar\vec k$ , par analogie avec les photons, ou toutes les ondes correspondant à un corpuscule (dualité onde-corpuscule). Ce n'est pas tout à fait correct, car $\hbar\vec k$ n'est pas réellement un moment physique. Il est nommé pseudo-moment ou moment de vibration. Ceci est dû au fait que $\vec k$ n'est déterminé qu'à un multiple de vecteur constant près, vecteur du réseau réciproque. Par exemple, dans un modèle unidimensionnel, les coordonnées normales Q et Π sont définies de telle manière que :

$Q_k \equiv Q_{k+K} \quad;\quad \Pi_k \equiv \Pi_{k + K} \quad \mbox{where}\; K = 2n\pi/a$

quel que soit le nombre entier n. Un phonon de nombre d'onde k est donc équivalent à un nombre infini d'autre phonons de la même famille de nombres d'onde k±2π/a, k±4π/a (etc). Les électrons de Bloch obéissent au même type de restrictions.

Généralement, on le considère que les phonons de vecteurs d'onde $\vec k$ de chaque famille possédant le plus "petit" vecteur $\vec k$ . L'ensemble de ces vecteurs défini la première zone de Brillouin. D'autres zones de Brillouin peuvent être définies comme des copies de la première zone, décalées d'un multiple de vecteurs du réseau réciproque.

Propriétés thermodynamiques

Un réseau cristallin au zéro absolu est dans son état de base, et aucun mode de phonon n'est excité. D'après les lois de la thermodynamique, lorsqu'un réseau cristallin est à une température supérieure au zéro absolu, son énergie n'est pas constante mais elle fluctue de manière aléatoire autour d'une valeur moyenne. Ces fluctuations d'énergie sont dues à des vibrations aléatoire du réseau, qui peuvent être vues comme un gaz de phonons (notons que le mouvement aléatoire des atomes du réseau correspond à la chaleur). Comme ces phonons sont liés à la température du réseau, ils sont parfois nommés phonons thermiques.

Contrairement aux molécules qui forment un gaz ordinaire, les phonons thermiques peuvent être créés ou annihilés par des fluctuations d'énergies aléatoires. Leur comportement est similaire au gaz de photons produit par une cavité électromagnétique, pour laquelle les photons peuvent être absorbés ou émis par les parois de la cavité. Cette similitude n'est pas une coïncidence : le champ électromagnétique se comporte en effet comme un groupe d'oscillateurs harmoniques (voir rayonnement du corps noir). Les deux gaz obéissent à la statistique de Bose-Einstein : à l'équilibre thermique, le nombre moyen de phonons ou de photons dans un état donné est :

$\langle n_{k,s} \rangle = \frac{1}{\exp(\hbar\omega_{k,s}/k_BT) - 1}$

ω_k,s est la pulsation du phonon ou du photon dans l'état
k_B est la constante de Boltzmann
T est la température (en Kelvin)

Voir aussi

Pour une meilleur compréhension de cet article, il est intéressant de consulter :