Problème principal-agent

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Le problème du principal-agent est le problème économique fondamental de la théorie de l'agence, et un des éléments essentiels de l'économie industrielle. Il désigne un ensemble de problèmes rencontrés lorsque l'action d'un acteur économique, le principal, dépend de l'action ou de la nature d'un autre acteur, l'agent, sur lequel le principal est imparfaitement informé. Il s'agit donc d'étudier les conséquences d'une asymétrie d'information

Ces problèmes se répartissent généralement en trois catégories, en fonction de la nature de l'imperfection de l'information : l'antisélection, l'aléa moral et les problèmes de signalement.

Sommaire

1 Antisélection

1.1 Exemple
1.2 Formulation mathématique

2 Aléa moral

2.1 Exemple
2.2 Formulation mathématique

3 Problème de signal

3.1 Exemple
3.2 Formulation mathématique

4 Voir aussi

Antisélection

En anglais, on parle d' adverse selection, ce qui conduit parfois à l'utilisation de sélection adverse pour désigner les cas où le principal ignore une caractéristique de l'agent qui a un impact sur l'issue de l'accord entre l'agent et lui.

Exemple

L'exemple canonique de l'antisélection est le problème de l'assurance. Le principal est alors un assureur, qui propose un contrat, par exemple d'assurance automobile. Il fixe pour son contrat un prix unique p, car il ne peut pas connaître la qualité de ses clients (bons ou mauvais conducteur). Disons pour simplifier qu'il s'agit du coût des accidents du conducteur médian.

Du point de vue du client potentiel, ce contrat est d'autant plus intéressant qu'il est mauvais conducteur (le montant du coût de ses accidents devient supérieur au prix de l'assurance). Dans l'ensemble des conducteurs, l'assureur va donc assurer l'ensemble des mauvais conducteurs, ceux dont les accidents coûtent plus que p, et seulement une partie des bons (qui préfèrent supporter le coût de leurs rares accidents plutôt que de payer une assurance). Le contrat sélectionne donc les clients dont l'assureur ne voudrait pas (ils lui font perdre de l'argent), et n'intéresse pas ceux qui lui rapporteraient le plus.

Pour résoudre ce problème, l'assureur peut améliorer son information sur l'agent, par exemple en prenant en compte dans le contrat les accidents passés de l'agent, qui informent sur sa qualité de conducteur. C'est la base du système des bonus/malus. Parallèlement, l'assureur peut proposer des contrats en deux parties, qui obligent les agents à s'auto-sélectionner, et ainsi à révéler leur qualité. De tels contrats comportent typiquement une prime et une franchise. Sous certaines conditions, il est ainsi possible de proposer d'une part un contrat à forte prime et faible franchise, choisi par les mauvais conducteurs, et un contrat à faible prime et forte franchise, choisi par les bons conducteurs.

Formulation mathématique

Suivant la convention habituelle, nous notons $P$ le principal et $A$ l'agent. Chaque agent est caractérisé par un paramètre $\theta\in[0,1]$ , inobservable par le principal.

Supposons d'abord que le principal propose un contrat unique de prix $p$ , sans franchise. L'agent $θ$ retire du contrat une utilité $u (θ, p)$ , et le principal un profit (qui peut être négatif) $π = p - c (θ)$ , où $c$ est le coût probable d'assurer l'agent (le coût d'un accident multiplié par la probabilité pour cet agent d'avoir un accident).

Il est clair que l'agent ne souscrit le contrat que si

$u(\theta,p)\ge 0$ (a)

On appelle (1) une contrainte de participation

Moyennant un réordonnancement des agents, on peut supposer que $u (θ, p)$ est croissante en $θ$ et décroissante en $p$ . De même on peut supposer que $c (θ)$ estcroissant en $θ$ . $θ$ peut par exemple se comprendre comme la probabilité d'avoir un accident.

L'ensemble des souscripteurs est alors de la forme $[θ 0,1]$ .

Le principal fait alors un profit : $\Pi(p)=\int_{\theta_0}^1 p-c(\theta)d\theta$ (b)

Avec la contrainte de participation: $u (θ 0, p) = 0$ (a)

Si le principal connaissait $θ$ , il pourrait faire payer à chaque agent un prix $p * (θ)$ tel que $u (p * (θ),θ) = 0$ . Il ferait alors un profit

$\Pi^*=\int_0^1 p^*(\theta)-c(\theta)d\theta$

Si les agents sont averses au risque, $\forall \theta, p*(\theta)>c(\theta)d\theta$ . Il est alors clair que $Π *$ est le profit maximal que peut faire l'assureur.

La différence $Π(p) - Π *$ correspond au coût pour l'assureur de l'aléa moral.

Aléa moral

En économie industrielle, ce terme a une acception précise. Il désige les cas où un agent s'engage à accomplir une action pour le compte d'un principal alors que le résultat final de l'action dépend d'un paramètre connu de l'agent mais pas du principal. On le désigne parfois sous le nom de hasard moral; calque de l'anglais moral hazard. En effet, l'asymétrie d'information dote l'agent de la possibilité d'utiliser à son avantage son information privée sans que cet abus soit constatable par le principal ni un tiers. Il bénéficie donc d'une rente informationnelle.

Ce type de problème surgit dès que, dans une relation entre deux acteurs, un paramètre dont dépend le résultat de l'action ne peut être inclus dans l'accord liant les deux agents, soit parque qu'il n'est connu que par un des deux agents, soit parce qu'il ne peut être constaté par un tiers arbitre en cas de conflit.

Exemple

L'exemple de référence de l'aléa moral est la relation entre un propriétaire terrien et l'exploitant de cette terre. On suppose que le propriétaire vit en ville, et donc ne peut connaître ni l'effort consacré par l'exploitant à sa terre, ni les conditions météorologiques. Dans ce cas, l'exploitant a intérêt à toujours prétendre que la récolte a été mauvaise du fait du mauvais temps, afin d'en garder la plus grande partie possible ou de minimiser sa peine.

Plus spécifiquement, supposons que le propriétaire veut voir sa terre exploitée de la manière la plus efficace possible. Il dispose en outre de trois types de contrats qu'il peut imposer à l'exploitant :

Le salariat : l'exploitant gagne une somme fixée ex ante, quelle que soit la récolte, le reste allant au propriétaire;
Le métayage : le propriétaire prélève une part fixe de la récolte;
Le fermage : l'exploitant paie une somme fixée ex ante, et garde le reste de la récolte.

Dans le premier cas, l'exploitant n'a aucun intérêt à faire d'effort, puisqu'il est assuré de gagner son salaire. Il fera donc l'effort minimal pour que le principal le paye effectivement.

Dans le cas du métayage, l'incitation est meilleure, puisque plus l'exploitant travaille, plus il reçoit au final. Cependant, du point de vue du propriétaire, l'incitation n'est pas parfaite. En effet, il est optimal pour l'exploitant de faire un effort inférieur à celui qui maximiserait les revenus du principal.

Dans le cas du fermage, l'incitation est parfaite, l'exploitant étant le créancier résiduel de la récolte. Il fournira donc l'effort qui maximise le produit de la terre, puisqu'une fois payé le fermage, le reste va dans sa poche. Le propriétaire peut alors s'approcher du maximum de ses revenus en fixant un fermage correspondant à la différence entre la récolte moyenne et la rémunération de la main d'oeuvre de l'exploitant.

Formulation mathématique

Reprenon l'image de l'exploitation agricole. Dans un premier temps, supposons que le propriétaire prend toute la récolte $R$ , moins ce que mange le paysan $S$ . La récolte $R$ dépend de l'effort fait par le paysan $e$ et de la météo $θ$ : $R = R (e,θ)$ . Le propriétaire ne peut connaître ni l'effort fait par le paysan, ni la météo. On suppose que $R$ est strictement croissante en $e$ , et que $\frac{\partial R(e,\theta)}{\partial e}$ est strictement décroissante en $e$ (il arrive un moment où faire plus d'effort n'augmente que très peu la récolte).

Le propriétaire veut que le paysan fasse l'effort qui maximise la récolte : $max_e\left\{R(e,\theta)\right\}$ .

Le paysan, lui, a une utilité du type

$U = R - P - e$

où $P$ est la part de la récolte prise par le propriétaire. Ici, le propriétaire prend tout sauf $S$ : $U - S - e$

Il va donc minimiser son effort sous contrainte d'avoir à manger : $\min_e\left\{R(e,\theta)|R(e,\theta)\geq S\right\}$

Le paysan va donc faire l'effort minimum, $e s$ , et dire au propriétaire que la météo a été mauvaise. Le propriétaire, victime de l'aléa moral, ne peut prouver le contraire.

Supposons maintenant que le propriétaire examine les différents moyens d'exploiter sa terre vus plus haut. L'exemple que nous venons de traiter est celui du salariat. Le propriétaire n'en retire aucun revenu.

Dans le cas du métayage, le propriétaire prélève une part $q\in[0,1]$ de la récolte. Son revenu est donc :

$P = q R$

Le métayer a ainsi une utilité :

$U = (1 - q) R - e$

Son programme est donc :

$\max_e\left\{(1-q)R(e,\theta)-e\right\}$

La solution de ce programme est telle que :

$\frac{\partial(1-q)R(e,\theta)}{\partial e}=0$

c'est-à-dire la valeur $e m$ $(1-q)\frac{\partial R(e,\theta)}{\partial e}(e_m,\theta)=1$

C'est l'effort tel que la part du surplus de récolte qui découle d'un accroissement marginal de l'effort du paysan est égal à la désutilité de son effort (voir rendements marginaux).

Dans le cas du fermage, le propriétaire reçoit une somme fixe $F$ .

Le fermier a alors l'utilité :

$U = R - F - e$

Son programme est donc :

$\max_e\left\{R(e,\theta)-F-e\right\}$

Et la solution $e f$

$\frac{\partial R(e,\theta)}{\partial e}(e_f,\theta)=1$

On a immédiatement :

$\frac{\partial R(e,\theta)}{\partial e}(e_f,\theta)=1<\frac{\partial R(e,\theta)}{\partial e}(e_m,\theta)=1/(1-q)$ .

Comme $\frac{\partial R(e,\theta)}{\partial e}$ est décroissante en $e$ , il en découle :

$e f > e m$

Comme $R$ est croissante en $e$ , on a donc :

$R (e f,θ) > R (e m,θ)$

Le fermage conduit donc le fermier à faire un effort qui maximise la récolte, tout ce qui reste étant pour lui une fois que payé le loyer $F$ .

On voit également le comportement du propriétaire avisé : il commence par passer sa terre en métayage, ce qui lui permet de toucher $R (e m,θ)$ , puis il passe en fermage, et il demande un affermage $F > R (e m,θ)$ (puisqu'il sait que la récolte sera plus importante qu'en cas de métayage).

Problème de signal

Le cas du problème de signal (signalling en anglais) et la réciproque des deux premiers cas. Ici, le principal dispose d'une information privée qu'il voudrait faire partager à l'agent, qui ne peut vérifier cette information. De ce fait, certaines valeurs de l'information privées peuvent inciter le principal à mentir sur son information, et donc le problème est que le principal qui a la valeur de l'information voulue par l'agent ne peut pas être différencié de celui qui prétend l'avoir.

La solution la plus souvent mise en avant au problème de signal est la certification. Il s'agit d'un mécanisme permettant au principal d'acheter une caractéristique visible et vérifiable corrélée à l'information privée.

Exemple

L'exemple le plus classique est celui d'un groupe de jeunes diplômés d'un même établissement qui postulent pour le même emploi. Supposons que l'on puisse trier les jeunes diplômés par ordre de motivation, et que plus un employé est motivé, plus il est productif. Cette motivation est l'information privée de chaque diplômé (il connaît sa propre motivation, mais pas celle des autres). Le plus motivé aimerait bien pouvoir prouver au recruteur qu'il sera le plus productif, et donc que c'est lui qui doit avoir le poste. Cependant, le recruteur ne peut pas faire la différence entre la vraie motivation, et une motivation factice, qui ne durera pas plus que le temps de l'entretient. Le postulant le plus motivé est ainsi face à un problème de signal.

Formulation mathématique

Bien que cela ne soit pas le but premier de son article, une excellente formulation du problème peut être trouvée dans l'article Market for Lemons d'Akerlof ("The Market for Lemons": Quality Uncertainty and the Market Mechanism", George A. Akerlof ,The Quarterly Journal of Economics, Vol. 84, No. 3 (Aug., 1970), pp. 488-500).

L'auteur considère le marché les voitures d'occasions. Sur ce marché, il existe deux types de vendeurs :

Ceux dont la voiture est encore en bonne état. Ils représentent une proportion $q\in[0,1]$ des vendeurs, et n'acceptent de vendre leur voiture qu'à un prix supérieur ou égal à $P$ .
Ceux dont la voiture est une casserole (Lemon en anglais)? Ils représentent une proportion $(1 - q)$ des vendeurs, et veulent un pris supérieur ou égal à $p < P$ .

Supposons également que les acheteurs ne soient pas capable de faire la différence entre les deux types de voitures d'occasion, mais savent qu'il existe des casseroles on proportion $(1 - q)$ . Ils sont en outre disposés à payer $P + a$ pour une voiture en bon état et $p$ pour une casserole. On les suppose enfin neutres au risque.

Face à une voiture, ils sont ainsi prêts à payer $U = (P + a) q + p (1 - q)$ . Si $P>p+\frac{aq}{1-q}$ , c'est-à-dire s'il y a une différence de prix suffisante entre les deux types de voitures et que les voitures en bon état ne représentent pas la majeure partie du marché, alors $U < P$ : aucune voiture en bon état n'est achetée, alors qu'il y aurait des vendeurs et des acheteurs prêts à le faire en absence d'incertitude. Inversement, les vendeurs de casseroles profitent de la présence des voitures de bonne qualité pour vendre les leurs plus cher (voir externalité).

Les vendeurs de voiture en bon état sont donc clairement face à un problème de signal.

Supposons maintenent qu'il existe une entreprise ou une administration qui vend de la certification $C$ , à un coût unitaire $1$ . Cette entreprise ne connaît pas la qualité des voitures : elle ne fait que vendre le bien appelé «certification» à ceux qui en font la demande. Il est possible de montrer que sous certaines conditions, ce bien permet de signaler les vendeurs de voitures de bonne qualité.

En effet, les vendeurs de voiture de bonne qualité sont prêt à acheter une quantité $a$ de certification.Ils vendent alors leur voiture au prix $P + a$ , et en retirent $P$ , soit ce qu'ils espéraient au départ.

Le cas des vendeurs de casseroles est un peu plus complexe. Le consommateur sachant qu'il existe des casseroles, ils ne pourront jamais faire croire que toutes les voitures sur le marché sont bonnes. Ils comparent donc l'état où les bonnes voitures sont signalées, et où ils vendent les mauvaises au prix $p$ , et celui d'indifférenciation, où les mauvaises sont vendues à $U = (P + a) q + p (1 - q)$ . Ils sont donc prêts à payer $q (P + a - p)$ pour empêcher les bons vendeurs de se signaler.

Dès lors, si $a>(P+a-p)q\Leftrightarrow a>(P-p)\frac{q}{1-q}$ , seuls les vendeurs de voitures en bon état ont intérêt à acheter de la certification. Dans ce cas, la simple existence de cette certification (sans avoir à vérifier la qualité de la voiture) suffit à résoudre le problème de signal. On observera que cette condition est d'autant plus facilement remplie que :

Les acheteurs sont prêts à payer plus que ce qu'en veulent les vendeurs : $a$ grand;
La proportion de voitures de bonne qualité est important $q$ grand;
L'écart de prix entre les deux types de qualité est faible $P - p$ petit.

Le premier point est lié à la disposition des bons vendeurs à acheter de la certification, les deux autres au fait que plus la proportion de bonne voitures est importante et plus l'écart de prix est important, plus les vendeurs de casseroles gagnent à mentir.

Voir aussi

Gouvernance, Théorie du choix public

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Problème principal-agent

Antisélection

Exemple

Formulation mathématique

Aléa moral

Exemple

Formulation mathématique

Problème de signal

Exemple

Formulation mathématique

Voir aussi

See also: Problème principal-agent, Aléa moral, Assurance, Asymétrie d'information, Externalité, Fermage, Franchise