Problèmes de Hilbert
Lors du second congrès de mathématiques, tenu à Paris en 1900, David Hilbert présenta une liste de 23 problèmes qui tenaient jusqu'alors les mathématiciens en échec. Ces problèmes devaient, selon Hilbert, marquer le cours des mathématiques du XXe siècle, et l'on peut dire aujourd'hui que cela a été grandement le cas.
Voici la liste de ces problèmes :
- Prouver l'hypothèse du continu de Cantor.
Paul Cohen, en se basant sur les travaux de Gödel, montra en 1963 que cette conjecture était indécidable.
Hilbert rattache ce problème à la question suivante : prouver que l'ensemble des nombres réels peut être bien ordonné.
Ernst Zermelo prouva que l'existence de ce bon ordre est équivalent à l'axiome du choix de Zermelo. Ainsi, le prouver revient à accepter cet axiome, ce que nombre de mathématiciens refusèrent.
Alors que Hilbert pensait que ces deux problèmes étaient liés, Cohen montra qu'ils étaient indépendants en montrant que l'hypothèse du continu de Cantor était indécidable. - Démontrer la consistance des axiomes de l'arithmétique
Gödel montra en 1931, via son théorème d'incomplétude, que cela ne pouvait être démontré sans sortir de l'arithmétique. Gerhard Gentzen, cependant, démontra que la réponse était affirmative en se plaçant dans le cadre de la théorie des ensembles. - Peut-on appliquer la méthode de décomposition en polyèdres congruents utilisée par Euclide pour le calcul de n'importe quel volume ?
Max Dehn, élève de Hilbert, montra que non, dès 1900, en démontrant qu'il était impossible de diviser un cube et un tétraèdre régulier de même volume en un nombre fini de polyèdres deux à deux identiques. Malgré tout, le paradoxe de Banach-Tarski constitue un resultat positif pour cette question. - Définir toutes les géométries dont la plus courte distance entre deux points est un segment de droite.
La géométrie différentielle a permis de répondre en partie à ce problème, bien que l'on ne peut pas à proprement parler de réponse ferme. - Démontrer que les groupes de Lie sont nécessairement différentiables.
Le théoreme de Gleason-Montgomery-Zippin en 1953 y répondit par l'affirmative. - L'axiomatisation, basée sur le modèle mathématique, de la physique.
Du fait de l'apparition de la théorie de la relativité et de la mécanique quantique, le problème fut vite obsolète. Malgré tout, on peut noter que la physique théorique et les mathématiques ne cessent de se rapprocher. - Démontrer la transcendance des nombres ab, avec a algébrique et b irrationnel (par exemple
Les travaux de Gelfond, complétés par Schneider et Baker, ont permis de résoudre en partie ce problème. (voir Théorème de Gelfond-Schneider) - Démontrer l'hypothèse de Riemann.
Ce problème n'est toujours pas résolu aujourd'hui, malgré les progrès faits notamment par Deligne qui démontra les conjectures de Weil, et reçut pour cela la médaille Fields en 1978, on est encore loin d'avoir résolu ce problème, qui s'annonce comme celui du XXIe siècle. - Etablir une loi de réciprocité dans les corps de nombres algébriques.
Résolu par Emil Artin en 1927. - Trouver un algorithme déterminant si une équation diophantienne a des solutions.
Il fallut attendre les travaux de Church et Turing en 1930 pour définir rigoureusement la notion d'algorithme. En 1970, Yuri Matijasevic, établissant une équivalence entre les ensembles récursivement énumérables et les ensembles diophantiens, a établi qu'un tel algorithme ne pouvait exister. - Classifier les formes quadratiques à coefficient dans les anneaux d'entiers algébriques.
Le théorème de Hasse-Minkowski résout le probleme sur
, et Siegel le resolut sur d'autres anneaux intègres.
- Prolonger le théorème de Kroneker sur les corps non-abéliens.
- Montrer l'impossibilité de résoudre les équations du septième degré au moyen de fonctions de seulement deux variables.
Démontré par Kolmogorov et son élève Vladimir Arnold en 1954. - Prouver le caractère fini de certains systèmes complets des fonctions.
Nagata donna en 1959 un contre-exemple qui montra la fausseté de la conjecture. - Mettre en place les bases du calcul énumératif de Schubert.
Résolu par Van der Waerden en 1930. - Développer une topologie des courbes et des surfaces algébriques.
Une partie de ce problème est encore une question ouverte. - Montrer qu'une fonction rationnelle positive peut s'écrire sous la forme de somme de carrés de fonctions rationnelles.
Résolu par Artin en 1927. - Construire un espace euclidien avec des polyèdres congruents.
Une partie du problème fut résolu par Ludwig Bieberbach en 1910. Ce problème comporte aussi la fameuse conjecture de Kepler, résolu en 1998 par Thomas Hall. - Prouver que le calcul des variations est toujours nécessairement analytique
Résolu par Bernstein et Tibor Rado en 1929. - Étudier la solution générale des problèmes de valeur limite.
- Prouver que toute représentation complexe de dimension finie peut s'obtenir par action de monodromie sur une équation différentielle de Fusch.
Résolu par Helmut Rörl en 1957. - Uniformiser des courbes analytiques au moyen de fonctions automorphes.
Résolu par Koebe et Henri Poincaré en 1907. - Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations.