Produit cartésien

La notion de produit cartésien repose avant tout sur celle de couple, ou plus généralement de n-uplet. Cette notion permet implicitement d'ordonner les éléments d'un ensemble. Il est alors possible d'introduire la notion de somme disjointe (ou somme cartésienne).

Sommaire

1 Notion de couple

2 Produit cartésien de deux ensembles

3 Généralisation à plus de deux ensembles

3.1 Triplets
3.2 Produit cartésien de trois ensembles
3.3 n-uplets

4 Somme disjointe ou cartésienne

5 Voir aussi

Notion de couple

Pour deux objets a et b donnés, le couple contenant a et b est noté ( a, b ). Nous allons suivre le point de vue historique et considérer dans un premier temps cette notion comme une notion primitive. Les objets a et b sont appelés respectivement première composante et deuxième composante du couple ( a, b ).

L'essence de la notion de couple réside dans la propriété fondamentale suivante :

Deux couples sont égaux si et seulement si leurs premières composantes d'une part, et leurs secondes composantes d'autre part, sont égales entre elles.

ou :

$\forall a , \forall b , \forall c , \forall d , [\, ( a , b ) = ( c , d ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a = c ) \wedge ( b = d ) \,]$

Cette propriété est à rapprocher du lemme SP2 d'égalité des paires (voir l'article « Ensemble »). Nous constatons que pour les couples, c et d ne sont pas interchangeables, contrairement à ce qui se passe pour les paires.

Ceci est confirmé par le corollaire suivant :

Les composantes d'un couple ne peuvent être échangées entre elles sans modifier le couple, sauf si elles sont identiques.

ou :

$\forall a , \forall b , [\, ( a , b ) = ( b , a ) \,] \Leftrightarrow [\, a = b \,]$

L'ordre des composantes a donc de l'importance, d'où la définition :

Si a est différent de b , le couple ( b , a ) est appelé couple symétrique du couple ( a , b ) ou encore couple réciproque de ce même couple.

Attention : la propriété fondamentale des couples ne suffit pas en elle-même à définir la notion de couple. C'est pourquoi la définition suivante a été proposée (Wiener, 1914) :

pour tout objet a et tout objet b, le couple ( a , b ) est la paire formée par le singleton { a } et la paire { a , b } :

ou :

$\forall a , \forall b , ( a , b ) = \{ \{ a \} , \{ a , b \} \}$

Il est aisé de vérifier que les couples ainsi définis satisfont bien à la propriété fondamentale. D'autres définitions de la notion de couple sont possibles, par exemple en posant ( a, b ) = { { b } , { a, b } }. Mais ces définitions n'apportent rien de plus et sont incompatibles avec celle de Wiener ; c'est pourquoi on conserve cette dernière au bénéfice de l'antériorité.

Par ailleurs, tels qu'ils sont définis, les couples ne peuvent avoir pour composantes que des ensembles, pas des univers. Nous verrons plus loin un moyen de tourner cette limitation.

Produit cartésien de deux ensembles

Pour tout objet A et tout objet B, il existe un ensemble dont les éléments sont les couples dont la première composante vient de A et la seconde de B :

$\forall A , \forall B , \exists P / \, \forall x , \forall y , [ ( x \in A ) \wedge ( y \in B ) ] \Rightarrow [ ( x , y ) \in P ]$

L'existence de cet ensemble découle de celle de $\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(A \cup B))$ . L'unicité de P pour A et B donnés est garantie par l'Axiome d'extensionnalité. Cet ensemble est noté A×B (lire « A croix B ») et il est appelé produit cartésien de A par B :

$A \times B = \left \{ (a, b) | ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \right \}$ .

Par exemple, si A est l'ensemble { A, R, D, V, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } et B l'ensemble { pique, cœur, carreau, trèfle }, alors le produit cartésien des ces deux ensembles est l'ensemble à 52 éléments suivant : { (A, pique), (R, pique), ... (2, pique), (A, cœur), ... (3, trèfle), (2, trèfle) }.

En règle générale, B×A ≠ A×B. Plus précisément : A×B = B×A ⇔ A = B.

Remarque : A×A est noté A² (lire « A au carré ») et appelé carré cartésien de A :

$A^{2} = \{ ( x, y ) | ( x \in A ) \wedge ( y \in A ) \}$

A² ne doit pas être confondu avec ΔA (lire « delta A »), diagonale de A :

$\Delta A = \{ ( x, x ) | x \in A \}$

Remarque : La diagonale d'un ensemble se confond avec son carré cartésien si et seulement si cet ensemble est vide ou se réduit à un singleton.

Le produit cartésien d' un ensemble par l'ensemble vide est égal à l'ensemble vide.

Généralisation à plus de deux ensembles

Triplets

Comme pour les couples, l'important, c'est leur propriété fondamentale : deux triplets sont égaux si et seulement si leurs premières composantes sont égales entre elles, puis leurs deuxièmes composantes, et enfin leurs troisièmes :

$\forall a , \forall b , \forall c , \forall d , \forall e , \forall f , [\, ( a , b , c ) = ( d , e , f ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a = d ) \wedge ( b = e ) \wedge ( c = f ) \,]$

Là encore, cette propriété ne suffit pas à définir la notion de triplet, et là encore, plusieurs définitions incompatibles entre elles sont possibles a priori. On pose habituellement :

$\forall a , \forall b , \forall c , ( a , b , c ) = ( ( a , b ) , c )$

Produit cartésien de trois ensembles

Il est défini par :

$A \times B \times C = \left \{ ( a, b, c ) | ( a \in A ) \wedge ( b \in B ) \wedge ( c \in C ) \right \}$ .

D'après ce qui précède, A×B×C = (A×B)×C. Là encore l'ordre des termes est important. Le produit A×A×A est appelé cube cartésien de A et il est noté A³ (lire « A au cube ») :

$A^{3} = \{ ( x, y , z) | ( x \in A ) \wedge ( y \in A ) \wedge ( z \in A ) \}$

Les produits cartésiens furent développés pour la première fois par René Descartes dans le contexte de la géométrie analytique. Si $\mathbb{R}$ désigne l'ensemble de tous les nombre réels, alors $\mathbb{R}$ ² = $\mathbb{R}$ × $\mathbb{R}$ représente le plan euclidien et $\mathbb{R}$ ³ = $\mathbb{R}$ × $\mathbb{R}$ × $\mathbb{R}$ représente l'espace euclidien tri-dimensionnel.

n-uplets

Les définitions précédentes se généralisent par récurrence :

Propriété fondamentale d'un n-uplet :

$\forall a_{1} , \forall a_{2} , \cdots , \forall a_{n} , \forall b_{1} , \forall b_{2} , \cdots , \forall b_{n} ,$

$[\, ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n} ) = ( b_{1} , b_{2} , \cdots b_{n} ) \,] \Leftrightarrow [\, ( a_{1} = b_{1} ) \wedge ( a_{2} = b_{2} ) \wedge \cdots ( a_{n} = b_{n} ) \,]$

Définition d'un n-uplet :

$\forall a_{1} , \forall a_{2} , \cdots \forall a_{n} , ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n-1} , a_{n} ) = ( ( a_{1} , a_{2} , \cdots a_{n-1} ) , a_{n} )$

Produit cartésien de n ensembles :

$A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} \times A_{n} = ( A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n-1} ) \times A_{n}$

Puissance cartésienne n-ième d'un ensemble :

$A^{n} = A^{n-1} \times A = \prod_{i=1}^n A = \{ ( x_1 , x_2 , \cdots x_n ) | \,\forall i , x_i \in A \,\}$

Note : Il est possible de définir des produits cartésiens infinis, mais pour le faire, nous avons besoin d'une définition du produit cartésien plus profonde.

Somme disjointe ou cartésienne

Dans une réunion d'ensembles A ∪B, l'origine des éléments y figurant est perdue. Un moyen d'éviter cette perte d'information est de réunir non pas directement les ensembles de départ, mais des copies de ces ensembles de la forme { α }×A et { β }×B, où « α » et « β » sont deux symboles quelconques distincts servant à identifier les ensembles A et B, par exemple « Ø » et « { Ø } » , ou « 0 » et « 1 ». La somme disjointe ou somme cartésienne de deux ensembles est ainsi définie par :

$\forall A , \forall B , A + B = A \dot \cup B = \dot \cup ( A , B ) = ( \{ 0 \} \times A ) \cup ( \{ 1 \} \times B )$

La notation préfixée $\dot \cup ( A , B )$ met en évidence que la somme disjointe de deux ensembles vérifie la propriété fondamentale des couples. De plus, contrairement aux couples, la notion peut s'appliquer aux univers. C'est pourquoi les sommes disjointes sont parfois appelées couples généralisés. Plus précisément, si on rencontre un couple dont l'une des composantes est un univers, il s'agit d'un abus d'écriture : le couple est en réalité une somme disjointe.

La somme disjointe peut se généraliser à plus de deux ensembles. Par exemple, pour trois ensembles :

$\forall A , \forall B , \forall C ,$

$\dot \cup ( A , B , C ) = \dot \cup ( \dot \cup ( A , B ) , C ) = ( \{ ( 0 , 0 ) \} \times A ) \cup ( \{ ( 0 , 1 ) \} \times B ) \cup ( \{ 1 \} \times C )$

Et plus généralement :

$\forall A_1 , \forall A_2 , \cdots \forall A_n , \dot \cup ( A_1 , A_2 , \cdots A_{n-1} , A_n ) = \dot \cup ( \dot \cup ( A_1 , A_2 , \cdots A_{n-1} ) , A_n )$

Cela permet de généraliser l'abus d'écriture précédent : si on rencontre un n-uplet dont l'une des composantes est un univers, il s'agit en réalité d'une somme disjointe de n classes (univers ou ensembles).

Produit cartésien

Notion de couple

Produit cartésien de deux ensembles

Généralisation à plus de deux ensembles

Triplets

Produit cartésien de trois ensembles

n-uplets

Somme disjointe ou cartésienne

Voir aussi

See also: Produit cartésien, Axiome d'extensionnalité, Classe (mathématiques), Correspondances et Relations, Couple (mathématiques), Ensemble, Espace euclidien, Géométrie analytique, Mathématiques, Nombre réel