Produit tensoriel

On appelle produit tensoriel le produit de chaque composante d'un tenseur par chaque composante d'un autre tenseur. Le produit d'un tenseur d'ordre p avec un tenseur d'ordre q est un tenseur d'ordre p + q.

Le produit tensoriel n'est pas commutatif.

ex1: Produit tensoriel de deux vecteurs.

A_i \otimes B_j =\{ \sum_i \mathbf{\delta^i} a_i \} \otimes \{ \sum_j \mathbf{\delta^j} b_j \}
= \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}b_1 & b_2 & b_3 & b_4\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4\end{bmatrix} = C_{ij}

ex2: Produit tensoriel de deux tenseurs.

T_{ij} \otimes G_{kl} = \{ \sum_i \sum_j \mathbf{\delta^i \delta^j} t_{ij} \} \otimes \{ \sum_k \sum_l\mathbf{\delta^k \delta^l} g_{kl} \}
= \sum_i \sum_j \sum_k \sum_l \{ \mathbf{\delta^i \delta^j \delta^k \delta^l} \} t_{ij} g_{kl} = A_{ijkl}

On définit aussi le produit tensoriel contracté une fois comme ceci.

T_i^j \bar \otimes G_k^l =\{ \sum_i \sum_j \mathbf{\delta_i \delta^j} t_i^j\} \bar \otimes \{ \sum_k \sum_l\mathbf{\delta_k \delta^l} g_k^l \}

= \sum_i \sum_j \sum_k \sum_l \{ \mathbf{\delta_i \delta^j} \cdot \mathbf{\delta_k \delta^l} \} t_i^j g_k^l
= \sum_i \sum_j \sum_k \sum_l \delta_k^j \mathbf{\delta_i \delta^l} t_i^j g_k^l
=\sum_i \sum_l \mathbf{\delta_i \delta^l} ( \sum_j t_i^j g_j^l ) = A_i^l
Le signe \delta_k^j est appelé le delta de Kronecker
Avec la convention d'Einstein on n'écrit pas les sommations qui deviennent très vite lourde à traîner. On somme les indices repété deux fois de la quantité approprié.

On procède de la même manière pour des tenseurs d'ordre différent. On peut aussi effectuer un produit tensoriel contracté 2,3,4,...,n fois. Ici, un exemple pour un produit contracté 2 fois entre un tenseur d'ordre 3 et un autre d'ordre 2.

T_{i \ \ k}^{\ j} \bar \bar \otimes E^l_{\ m} =\{ \mathbf{\delta^i \delta_j \delta^k} t_{i \ \ k}^{\ j} \} \bar \bar \otimes \{ \mathbf{\delta_l \delta^m} e^l_{\ m} \}

= \{ \mathbf{\delta^i \delta_j \delta^k} \bar \bar \otimes \mathbf{\delta_l \delta^m} \} t_{i \ \ k}^{\ j} \ e^l_{\ m}
= \delta_l^k\{ \mathbf{\delta^i \delta_j} \bar \otimes \mathbf{ \delta^m} \} t_{i \ \ k}^{\ j} \ e^l_{\ m}
=\delta_l^k \delta_j^m \{ \mathbf{\delta_i } \} t_{i \ \ k}^{\ j} \ e^l_{\ m}
= \{ \mathbf{\delta_i } \} t_{i \ \ k}^{\ j} \ e^k_{\ j} = V_i

Ici le résultat est un tenseur d'ordre 1 c'est-à-dire un vecteur. L'ordre du tenseur se calcule comme si dessous: 

O = P + Q − 2(n)

Où O est l'ordre du nouveau tenseur, P et Q ceux du premier et deuxième tenseur alors que (n) est le nombre de fois que le produit est contracté.

Voir aussi

See also: Produit tensoriel, Commutativité, Convention de sommation d'Einstein, Delta de Kronecker, Produit extérieur, Tenseur