Propagation des erreurs

Notations: E(x) ou \langle x \rangle espérance mathématique de x. V(x) variance de x. \partial_i y est la dérivé partielle de y pour la iéme variable.

Une fonction de variables aléatoires y = y (\underline{x}) est elle-même une variable aléatoire. Si les erreurs sont petites, la variance du développement limité de y au premier ordre autour des valeurs moyennes μ des \underline{x} est une bonne estimation de la variance de y:

y(x) = y(\mu) + \sum \left(x_i - \mu_i \right) \partial_i y

On néglige les termes d'ordre supérieur dans l'expansion, il vient:

V(y(x)) = \sum_i\sum_j \partial_i y \partial_j y V_{ij}(x)

Si les x sont indépendantes

V(y(x)) = \sum_i \left( \partial_i y \right)^2 V_{ii}(x)

Application: mesure d'une résistance

Une application pratique est la mesure expérimentale d'une résistance R à partir de la chute de tension U entre ses bornes et du courant I. La résistance est décrite par la loi d'Ohm.

R = \frac{U}{I}

Nous avons

\langle R \rangle = \frac{\langle U \rangle}{\langle I \rangle}

\partial_U R = \frac{1}{\langle I \rangle} = \frac{\langle R \rangle}{\langle U \rangle} et \partial_I R = - \frac{\langle U \rangle}{\langle I \rangle^2} = - \frac{\langle R \rangle}{\langle I \rangle}

Il vient

\frac{V_R}{\langle R \rangle^2} = \frac{V_U}{\langle U \rangle^2} + \frac{V_I}{\langle I \rangle^2}

Dans ce cas simple, l'erreur relative sur R correspond à la moyenne géométrique des erreurs relatives sur U et I.

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