Relativité restreinte

On nomme Relativité restreinte une première version de la théorie de la Relativité, émise en 1905 par Albert Einstein, et qui ne considérait pas la question des accélérations du référentiel, ni les interactions d'origine gravitationnelles. Cependant, elle présentait une explication cohérente des interactions électro-magnétiques et de leurs transformation par changement de référentiel par la Transformation de Lorentz. De plus, elle résolvait les paradoxes existants en mécanique classique relatifs aux mesures de la vitesse de la lumière. Cette théorie a introduit pour la première fois la notion d'espace-temps et des phénomènes étonnants, mais vérifiés expérimentalement, de variation des mesures de longueur et des mesures de durée d'un observateur à un autre, chacun d'eux étant situé sur un référentiel différent.

Elle est enseignée tant dans le cadre de la cinématique en mathématiques que de l'introduction à la Relativité générale en physique pour sa clarté et sa simplicité.

D'autre part, c'est actuellement la seule théorie utilisable pour représenter les effets relativistes en mécanique quantique.

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Sommaire
1 Exemple
2 Remarques
3 Origine de la théorie
4 Émergence du concept
5 Changement de référentiel

5.1 Introduction aux changements de référentiels
5.2 Les transformations de Galilée
5.3 L'expérience d'interférométrie de Michelson et Morley
5.4 Les postulats d'Einstein
5.5 L'intervalle d'espace-temps entre deux événements
5.6 Les transformations de Lorentz

5.6.1 Conséquences

6 Développements et annexes

6.1 Transformations générales de Lorentz

7 Cinématique relativiste : vitesse et accélération
8 Cinétique relativiste : vers le quadri-vecteur impulsion-énergie
9 Dynamique relativiste

9.1 Principe de la mécanique relativiste
9.2 Systèmes de particules

10 Électromagnétisme et relativité restreinte

10.1 Champ électromagnétique
10.2 Onde électromagnétique et photons

11 Pourquoi n'y a-t-il pas eu de Nobel pour la Relativité ?
12 Les précurseurs

12.1 Transformations de Voigt
12.2 Interprétation du temps par Poincaré
12.3 Rotation dans un espace-temps à quatre dimensions
12.4 Omission des références à Poincaré par Einstein

13 Bibliographie
14 Voir aussi
15 Liens externes

Exemple

Imaginez un vaisseau spatial survolant la lune, à une vitesse constante (proche de c). Si on néglige les phases d'accélération et de décélération, les deux référentiels sont galiléens. Sur la lune se trouvent érigées deux fusées situées à une certaine distance l'une de l'autre. Au milieu de cette distance se trouve un émetteur lumineux permettant le décollage simultané des deux fusées : un observateur lunaire peut déduire de ses propres observations que les signaux de déclenchement sont arrivés simultanément au niveau de chacun des détecteurs de mise à feu. Pour le pilote du vaisseau, il en va tout autrement : s'il reçoit les deux images du décollage de chaque fusée en même temps, il en déduira que l'une des deux fusées a dû forcément décoller avant l'autre.
Qui a raison ? Le pilote ou le piéton ? ... En fait, les deux ont raison, car les mesures de temps et d'espace varient d'un référentiel à l'autre.

Remarques

1- Un référentiel galiléen se nomme aussi référentiel de Lorentz. On dit aussi référentiel d'inertie. En physique relativiste, tout référentiel d'inertie est local. On peut en avoir autant qu'on veut contrairement à la physique newtonienne où il n'y en a qu'un seul, le même pour tous, et qui s'étend partout.
2- Un observateur est le plus souvent qu'autrement un appareil de détection ou un ensemble de ces appareils, plûtot qu'un humain, car l'humain ne peut être à plusieurs endroits à la fois dans un référentiel donné.
3- En relativité, les mesures de temps s'expriment en unités de distance. Distance de quoi? La distance parcourue par la lumière entre deux événements, distance mesurée dans chaque référentiel, donc différente pour chaque référentiel, donc différente en nombre d'unités de temps. En d'autres termes, on dira que la mesure du temps est différente d'un référentiel à l'autre i.e. relative, et non unique comme dans la physique newtonienne.
4- Evénement: phénomène auquel on associe une coordonnée de temps et au moins une coordonnée d'espace, et ce pour chaque référentiel impliqué dans l'expérience.

Origine de la théorie

La théorie de la relativité restreinte a été formulée pour la première fois par Albert Einstein en 1905, dans son article intitulé De l'électrodynamique des corps en mouvement.

« Malgré la prudence de Lorentz, la théorie de la relativité restreinte fut rapidement acceptée. En 1912 Lorentz et Einstein furent proposés pour un prix Nobel conjoint pour leur travail sur la relativité spéciale. La recommandation était de Wien, lauréat de 1911, et déclare que « bien que Lorentz doive être considéré comme le premier à avoir trouvé le contenu mathématique du principe de relativité, Einstein réussit à le réduire en un principe simple. On devrait dès lors considérer le mérite des deux chercheurs comme comparable ». Einstein ne reçut jamais le Nobel pour la relativité, le prix Nobel n'étant, en principe, jamais accordé pour une théorie pure. Le comité fut d'abord prudent et attendit une confirmation expérimentale. Le temps que cette confirmation soit enfin disponible, Einstein était passé à d'autres travaux importants. » ([1], en anglais). Quant à Poincaré, qui avait décrit cette idée dès 1902, il était mort.
Cependant, Einstein reçut quand même un prix Nobel en 1921, mais pour une autre raison.

Émergence du concept

On trouvera dans Quatrième dimension un extrait d'un historique sur la naissance de la relativité; cet extrait rappelle que si Lorentz a bien formulé en premier les transformations qui portent son nom, Einstein a remis en cause les principes de base de la mécanique classique... sur les principes de l'espace-temps à quatre dimensions non-euclidien formalisé par son professeur Hermann Minkowski en 1907, et de la façon décrite par Henri Poincaré dans son ouvrage La science et l'hypothèse dès 1902.

Changement de référentiel

Introduction aux changements de référentiels

Une étape importante de la mise en forme de la théorie concerne les notions à introduire pour décrire le passage d'un référentiel dans une autre.

À partir du moment où l'on travaille dans l'espace-temps à quatre coordonnées, dont l'une est temporelle, mais exprimée en unités de distance, on ne s'impose a priori de conditions sur aucune des coordonnées, à part celles qui peuvent apparaître acceptables après mûre réflexion.

Ces conditions sont très simples et très efficaces. Il s'agit des hypothèses suivantes, concernant chacun des référentiels galiléens :

Ces conditions imposent des relations de linéarité entre des systèmes de coordonnées des deux référentiels. Puis une condition sur une hypothèse logique minimale :

Le fait est que cette hypothèse minimale permet la possibilité suivante : les horloges, fixes dans les différents référentiels peuvent avoir des marches différentes, tant que cela ne modifie pas l'ordre temporel imposé par la causalité.

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Ces conditions sont mises en œuvre dans la recherche des transformations de Galilée, puis de celles de Lorentz qui sont abordées ci-dessous. L'on travaille, en général, dans le cadre de transformation dites spéciales caractérisées par le fait que les systèmes d'axes x,y,z et x',y',z' sont choisis tels qu'ils soient parallèles, que les axes O’x’ et Ox soient communs et parallèles à la vitesse \vec{v} du référentiel \mathbb{R'} par rapport au référentiel \mathbb{R}. Cette restriction de la présentation ne nuit nullement à la généralité des résultats obtenus.

Une seconde étape nécessaire au développement des calculs est la mise à zéro des horloges fixes dans chacun des référentiels. Usuellement on choisit de régler sur 0, les horloges fixes, respectivement en O’ et O, lorsque les deux points coïncident. Les horloges fixes de chacun des référentiels sont ensuite synchronisées sur celles de O’ et O, respectivement.

Les transformations de Galilée imposent l'hypothèse de Newton sur le temps, identique dans tous les référentiels, elles vérifient donc sans difficulté l'hypothèse sur la conservation de la causalité.

Les transformations de Galilée

Les transformations de Galilée correspondent donc à un choix d'un temps unique, universel, indépendant des référentiels, ...absolu. Compte tenu des conditions d'homogénéïté et d'isotropie, il s'avère que les coordonnées des deux référentiels \mathbb{R'} et \mathbb{R} vérifient :

x = (x' + vt') \qquad y = y' \qquad z = z' \qquad t = t'

Si ces coordonnées sont celles d'un point mobile, les vitesses et accélérations \vec{V} et \vec{V'}, \vec{a} et \vec{a'}(du mobile par rapport à chacun des référentiels, respectivement) sont obtenues par les dérivées successives par rapport au temps, et ce dans chaque référentiel. Il se déduit des relations précédentes :

\frac{dx}{dt} = \frac{d(x' + vt')}{dt}=\frac{d(x'+vt')}{dt'} \Rightarrow V_x=V'_x +v\qquad \frac{dy}{dt} =\frac{dy'}{dt'} \Rightarrow V_y=V_y^' \qquad \frac{dz}{dt} =\frac{dz'}{dt'} \Rightarrow V_z=V_z^'

et

\frac{dV_x}{dt} = \frac{d(V_x' + v)}{dt'} \Rightarrow a_x=a_x' \qquad \frac{dV_y}{dt} = \frac{d V_y' }{dt} \Rightarrow a_y=a_y' \qquad \frac{dV_z}{dt} = \frac{dV_z'}{dt} \Rightarrow \gamma_z=a_z';

ce que l'on peut écrire vectoriellement :

\vec V = \vec V'+ \vec{v}\qquad , \qquad a = \vec{a'}.

Ces résultats sont les expressions de la loi de composition des vitesses de la relativité galiléenne et de la loi de conservation des accélérations lors d'un changement de référentiel galiléen.

Par ailleurs dans chacun des deux référentiels galiléens, le principe de la dynamique s'exprime comme une loi invariante lors du changement de référentiel :

\vec{F} = m \vec{a} \qquad , \qquad \vec{F'} = m \vec{a'}.

Les résultats précédents (conservation de l'accélération) amènent donc à l'identité des forces appliquées au système, forces vues de chacun des référentiels.

De plus, selon la transformation de Galilée, les vitesses s'ajoutent (V=V'+v) et ainsi aucune vitesse n'est-elle invariante lors d'une telle transformation.

Ce dernier point fut expérimentalement contredit par l'expérience de Michelson et Morley à propos de la combinaison de la vitesse de la lumière et de celle de la terre autour du soleil, dans le référentiel de Copernic.

Ce résultat troublant est expliqué dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte.

Cependant la relativité galiléenne apparaissait incapable de mettre en évidence une invariance souhaitable des lois de l'électromagnétisme lors des changements de référentiel ; et c'est surtout ce fait qui conduisit Einstein à proposer la théorie de la relativité restreinte. Dans le cadre des transformations de Lorentz, les lois de l'électromagnétisme seront invariantes, et il existera une vitesse maximale pour toutes les interactions, identique pour tous les référentiels.

L'expérience d'interférométrie de Michelson et Morley

C'est en essayant d'utiliser la loi d'addition des vitesses (Michelson 1881, puis Michelson et Morley 1887) pour mettre en évidence le mouvement de la Terre par rapport à l'espace supposé immobile que ces chercheurs ont obtenu un résultat apparemment absurde : la vitesse de la Terre autour du soleil était nulle ! Certains ont essayé d'expliquer ce résultat en parlant d'éther entraîné par la Terre à la façon d'un bateau qui entraîne l'air contenu dans ses cabines, mais c'est Minkowski qui montra que les transformations de Lorentz formaient un groupe et émit l'idée d'un espace-temps non euclidien à quatre dimensions. Einstein développa alors l'idée qu'il ne s'agissait pas là d'un simple jeu intellectuel, mais bien de la réalité sous-jacente qui échappait à nos sens aux échelles de vitesse où nous travaillons communément.

Les vitesses ne s'additionnent pas arithmétiquement, et pour obtenir les règles de composition des vitesses, il suffit d'admettre les transformations de Lorentz comme valides pour toutes les lois de la nature; celles de Galilée en sont une approximation valable aux faibles vitesses.

Les postulats d'Einstein

Les caractéristiques d'homogénéité et d'isotropie de l'espace-temps, signalées plus haut, sont bien sûr conservées. Elles ne sont en fait que l'expression des lois de conservation de l'impulsion, du moment cinétique et de l'énergie d'un système isolé.

Le premier postulat apparaît d'ordre métaphysique, alors que le reste est lié directement à l'observation. On notera que ces postulats ont été énoncés alors que seuls deux types d'interaction avaient été totalement cernés par les physiciens. Les postulats s'appliqueront aussi aux interactions à découvrir.

Le second postulat permet en pratique une synchronisation des horloges fixes d'un référentiel donné, en tout endroit de ce référentiel : l'utilisation des signaux lumineux permet au gardien du temps (par exemple, placé au centre du référentiel) de faire mettre à l'heure toutes les horloges fixes de son référentiel.

L'intervalle d'espace-temps entre deux événements

L'utilisation des deux postulats et les contraintes imposées lors des changements de référentiels vont directement mener aux relations de transformations de Lorentz (cf. ci-dessous), mais la démarche qui y mène introduit une notion extrêmement importante, l’intervalle d'espace-temps entre deux événements.

Dans un référentiel un événement est caractérisé par ses coordonnées, spatio-temporelles, « tel endroit, tel instant ». Deux événements situés respectivement en x1,y1,z1,t1 et x2,y2,z2,t2 seront séparés par une intervalle d'espace-temps dont le carré est

\Delta S_{12}^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}-c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}.

Il s'avère que cet intervalle est un invariant relativiste : sa valeur ne dépend pas du référentiel galiléen dans lequel on l'évalue. Ceci permet de classer les événements, les uns par rapport aux autres, et ce classement est absolu, ... dans le cadre de la relativité restreinte.

En particulier, des événements peuvent être ailleurs l'un par rapport à l'autre (le carré de l'intervalle d'espace-temps est positif, dans sa définition ci-dessus) ; de tels événements ne peuvent être liés par aucune interaction, ils ne peuvent être cause et effet l'un de l'autre. Dans un référentiel donné, deux événements simultanés (se passant au même instant) mais situés en deux endroits différents sont ailleurs l'un par rapport à l'autre. Lors d'un changement de référentiel, suivant les transformation de Lorentz, il apparaîtra que dans un autre référentiel, un des deux événements aura lieu à un instant antérieur à l'autre : l'ordre temporel de tels événements peut bien varier d'un référentiel à l'autre, cela n'a aucune importance : aucun n'est la source de l'autre.
D'autre part, si un phénomène est l'effet d'un autre phénomène, ils ne seront simultanés dans aucun référentiel quel qu'il soit. Il y aura toujours une différence de temps, mais dont la mesure sera différente d'un référentiel à l'autre.

Les transformations de Lorentz

Dans le cadre des transformations spéciales, les hypothèses d'Einstein mènent aux transformations suivantes :

\mathbb{R'} \rightarrow \mathbb{R} :x = \gamma (x' + vt') \qquad y = y' \qquad z = z' \qquad t = \gamma (t'+ \frac{v.x'}{c^2})

où γ est un facteur scalaire sans dimension défini par

\qquad \gamma=\gamma (v)= \frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Les transformations de Lorentz rendent invariantes les équations de Maxwell lors des changements de référentiels galiléens. Il en est de même de la loi de Newton-Lorentz.

A la limite des faibles vitesses (du référentiel \mathbb{R'} par rapport au référentiel \mathbb{R}), l'on retrouve les lois de transformations de Galilée ; outre la manifestation d'une grande cohérence, ceci sera la source de la démarche menant à la dynamique relativiste.

Pour de plus amples informations concernant l'établissement des relations de transformations, voir ci-dessous ou l'article détaillé Transformations de Lorentz.

Les transformations de Lorentz mènent à une vision totalement neuve de la physique ; en particulier la notion de temps absolu vole en éclat. D'une façon générale, en ce qui concerne la cinématique, les conséquences sont nombreuses. Précisons quelques unes.

Conséquences

Supposons un intervalle de temps Δt0 correspondant à l'intervalle entre deux battements de cœur d'un individu, entre deux tocs d'une horloge, immobiles dans le référentiel \mathbb{R'}, ce qui veut dire que dans ce référentiel les deux événements (1er battement, 2ème battement,...) ont lieu au même point d'espace de \mathbb{R'}. Dans le référentiel \mathbb{R} par rapport auquel se déplace \mathbb{R'}, à la vitesse v, le voyageur ou l'horloge se sont déplacés d'une distance Δx = vΔt, fournissant une expression de l'intervalle d'espace temps, vu de \mathbb{R}. La conservation de l'intervalle d'espace-temps fournit alors :
\Delta t = \gamma \Delta t_{0}=\frac{\Delta t_{0}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.
Ainsi, le même phénomène durant 1 s (par exemple) dans un référentiel où il est au repos est vu durer γ s dans le référentiel par rapport auquel le sujet du phénomène se déplace à la vitesse v : une horloge mobile apparaît ralentir.
Il faut insister ici sur la signification de la notion de durée entre deux événements dans un référentiel. La méthode de mesure consiste à attribuer comme coordonnée temporelle d'un événement l'instant lu sur l'horloge fixe du référentiel à l'endroit où se passe cet événement. Ainsi la durée la plus courte est-elle celle qui correspond au référentiel associé au phénomène (au voyageur, à son horloge propre) ; elle n'est lue que par l'intermédiaire d'une seule horloge, on lui attribue le nom de durée de temps propre.
Pour tout référentiel par rapport auquel le voyageur se déplace la durée du phénomène demande, pour sa mesure, deux horloges, une à chacun des points du référentiel où se trouvera le voyageur à l'instant initial et à l'instant final. C'est cette durée à laquelle il faut comparer la durée propre.
Les vérifications expérimentales sont nombreuses : durée de vie de muons atmosphériques, durée de vie de particules dans les accélérateurs... marches des horloges embarquées des satellites (le phénomène est dans ce cas à séparer des effets de la gravitation).
Dans le référentiel \mathbb{R}, par rapport auquel la règle se meut, la mesure demande aussi la définition d'une méthode, acceptable pour tous les référentiels. On appellera longueur de la règle mobile la distance entre les points de \mathbb{R} qui coïncideront avec les extrémités de la règle, au même instant de \mathbb{R}, choisi arbitrairement.
Cette méthode appliquée à partir des relations de transformation fournit :
L=\frac{L_{0}}{\gamma}=L_{0}\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}.
La longueur de la règle mobile est donc plus courte (que sa longueur propre) dans tout référentiel par rapport auquel elle se meut.
Les vérifications expérimentales sont un peu différentes que celles citées plus haut : dans le référentiel des muons traversant l'atmosphère à grande vitesse, c'est l'atmosphère qui se meut, mais de plus l'épaisseur d'air traversée n'est plus quelques kilomètres, mais quelques centaines de mètres...
Deux événements simultanés dans \mathbb{R}, en deux points de \mathbb{R} différents, ne sont plus simultanés dans tout autre référentiel en mouvement par rapport à \mathbb{R}. On insistera sur le fait que de tels événements sont ailleurs l'un de l'autre et que, donc, ils ne sont pas cause-effet l'un de l'autre.

Développements et annexes

Cette partie introduit à quelques développements de points présentés dans des pages liées ; on y trouve plusieurs approches des transformations de Lorentz. Notons, en particulier, un cours en ligne accessible[2] au format PDF.

On remarque en effet qu'il est souvent nécessaire de faire appel aux aspects mathématiques qui dans le cas présent sont un garde-fou précieux contre les raisonnements trop rapides, liés à des inconscients classiques.

Les aspects révolutionnaires de la relativité ont marqué la génération des physiciens du premier tiers du XXe siècle et ont mené à un certains nombres d'« expériences de pensée » (GedankenExperiment en allemand) permettant d'appréhender les phénomènes contre-intuitifs.

Parmi ces expériences de pensée, le paradoxe des jumeaux , énoncé en 1911 par Paul Langevin, a focalisé et focalise encore les pensées de ceux qui réfléchissent sur la relativité restreinte. On se trouve en fait devant deux aspects paraissant antinomiques (paradoxaux tous deux pour un physicien classique). D'un côté, hors des phases d'accélération (départ, retournement et freinage de celui qui s'en va), chacun des jumeaux est en mouvement relatif uniforme par rapport à l'autre : son horloge, vue du référentiel de l'autre est ralentie. D'un autre côté, lors de la rencontre finale, le voyageur, parti et revenu, est plus jeune que le sédentaire. Il existe bien sûr une asymétrie réelle entre les expériences vécues par chacun des deux jumeaux. Le jumeau voyageur subit une phase d'accélération, contrairement à son jumeau sédentaire : à ce titre, la découverte de la relativité générale, en 1915, amène une explication du vieillissement différent des jumeaux. Il faut cependant avoir conscience que ce n'est pas la phase d'accélération qui joue un rôle essentiel dans le ralentissement de l'horloge du jumeau voyageur, mais bien la dilatation des temps durant l'aller et le retour qu'il effectue dans deux référentiels inertiels différents.

Transformations générales de Lorentz

Si les transformations spéciales simplifient l'étude analytique, elles ne nuisent en rien à la généralité. On peut aisément passer au cas où les référentiels en mouvement ne sont pas parallèles l'un à l'autre, et sont d'orientation quelconque par rapport à leur vitesse relative. Il est toujours possible de décomposer le vecteur \vec{r} suivant deux directions : celle parallèle au déplacement \vec{r}_{/ /} et celle orthogonale à celle-ci : \vec{r}_{\bot} : \vec{r}=\vec{r}_{/ /}+\vec{r}_{\bot}

Les transformations générales de Galilée s'écrivent tout simplement : \left\{\begin{matrix} \vec{r'}=\vec{r}-\vec{v}t\\ t'=t \end{matrix}\right.

Tandis que les transformations de Lorentz donnent :
\left\{\begin{matrix} \vec{r'}_{\bot}=\vec{r}_{\bot}\\ \vec{r'}_{/ /}=\gamma(\vec{r}_{/ /}-\vec{v}_{0}t)\\ t'=\gamma(t-\frac{\vec{r}{\cdot}\vec{v}_0}{c^2}) \end{matrix}\right.
\vec{r'} = \vec{r'}_{\bot}+\vec{r'}_{/ /} = \gamma(\vec{r}_{/ /}-\vec{v}_{0}t)+\vec{r}_{\bot}=\gamma(\vec{r}-\vec{v}_{0}t)-(\gamma-1)\vec{r}_{\bot}
or \vec{v}_{0}\times\vec{r}=\vec{v}_{0}\times\vec{r}_{\bot}
obtenant : \vec{r}_{\bot}=\frac{\vec{v}_0\times(\vec{v}_0\times\vec{r})}{v_0^2}
d'où l'expression des transformations générales de Lorentz :
\left\{\begin{matrix} \vec{r'}=\gamma(\vec{r}-\vec{v}_{0}t)-(\gamma-1)\frac{\vec{v}_0\times(\vec{v}_0\times\vec{r})}{v_0^2}\\ t'=\gamma(t-\frac{\vec{r}{\cdot}\vec{v}_0}{c^2}) \end{matrix}\right.

Cinématique relativiste : vitesse et accélération

Dans le cadre des transformations spéciales de Lorentz, on peut évaluer le lien entre les grandeurs cinématiques usuelles, à savoir la vitesse et l'accélération d'un point mobile, dans les deux référentiels \mathbb{R'} et \mathbb{R}.

Le plus élégant est de passer en écriture quadridimensionelle, ce qui est fait en annexe. Travaillons ici d'une façon parallèle à celle utilisée en mécanique classique.

Bien sûr les définitions doivent être identiques dans chacun des deux référentiels. Dans le référentiel \mathbb{R}, la vitesse a pour coordonnées les trois dérivées Vx = dx / dt, Vy = dy / dt et Vz = dz / dt ; la définition est semblable dans le référentiel \mathbb{R'}, pour lequel l'intervalle de temps est dt'.
Les relations de transformations spéciales fournissent alors en quelques lignes les expressions des composantes de la vitesse du mobile dans \mathbb{R}, en fonction de celles dans \mathbb{R'} :

V_{x}=\frac{V'_{x}+v}{1+\frac{vV'_{x}}{c^{2}}}

V_{y}=V'_{y} \frac{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1+\frac{vV'_{x}}{c^{2}}} \qquad V_{z}=V'_{y} \frac{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1+\frac{vV'_{x}}{c^{2}}} .

Ces relations sont remarquables à plusieurs titres :

Les mêmes opérations simples fournissent les relations, compliquées, entre les composantes des accélérations du mobile dans les deux référentiels. Nous sommes alors loin de la simplicité formelle obtenue dans l'étude des transformations de Galilée. Cette simplicité est cependant retrouvée dans le cadre de la présentation quadri-vectorielle, légitime pour cette étude de l'espace temps.

Cinétique relativiste : vers le quadri-vecteur impulsion-énergie

En mécanique classique l'étape vers la dynamique s'effectue par l'introduction de la cinétique, c’est-à-dire l'introduction des masses dans les expressions cinématiques. Les deux grandeurs fondamentales qui intéressent les physiciens sont l'impulsion et l'énergie, grandeurs conservées pour les systèmes isolés.

En relativité restreinte, il en est de même. Cependant, il est à ce niveau très intéressant de partir d'un intervalle d'espace temps lié directement au mobile que l'on considère. L'on sait que le carré d'intervalle d'espace temps est un invariant relativiste, et ceci donne un sens tout particulier au temps propre du mobile, qui n'est autre que la racine carrée de l'intervalle d'espace-temps associé aux deux événements séparés de dx, dy, dz, cdt dans le référentiel \mathbb{R}, et dt0 dans le référentiel du mobile, de vitesse \vec{V} dans \mathbb{R}.

On remarque que l'expression à quatre dimensions précédente présente la caractéristique d'avoir son carré scalaire (au sens du carré d'intervalle d'espace-temps) invariante lors du changement de référentiel. Sa division par le scalaire invariant, ayant les dimensions d'un temps, tel dt0 fournit alors aussi un quadri-vecteur (de carré scalaire invariant). La multiplication par la masse m du mobile (masse sur laquelle il faudra revenir) fournit alors un quadri-vecteur dont les trois premières composantes sont reliées à ce que nous connaissons sous le terme impulsion :

(m\frac{dx}{dt_{0}},m\frac{dy}{dt_{0}},m\frac{dz}{dt_{0}},mc\frac{dt}{dt_{0}})_{\mathbb{R}} = (m\gamma_{V}V_{x},m\gamma_{V}V_{y},m\gamma_{V}V_{z},mc\gamma_{V})_{\mathbb{R}} .

À partir des trois premières composantes l'on obtient la définition relativiste de l'impulsion, compte tenu de la relation entre le temps propre et le temps du repère :

\vec{p}=m\gamma_{V}\vec{V},

on retrouve, à la limite des faibles vitesses (\gamma_{V} \simeq 1) l'expression classique de l'impulsion.

La quatrième composante, multipliée par c, présente, pour les faibles valeurs de la vitesse V, une structure très particulière :

mc^{2}\gamma_{V}\simeq mc^{2}+\frac{1}{2}m V^{2}.

Ainsi cette quatrième composante fournit-elle l'énergie cinétique classique de cette particule de faible vitesse, augmentée par l'énergie mc2. La quantité E = mγVc2 est donc l'énergie de la particule libre, de masse m et de vitesse de module V, dans le référentiel \mathbb{R}.


On peut faire plusieurs observations :

− m2c2.
L’équivalence de la masse et de l'énergie restera la formule célèbre gravée sur le tombeau d'Einstein :
E = mc2

Poser cette équivalence fut un pas révolutionnaire, car les concepts de matière et d'énergie étaient complètement distincts jusque là, bien que certains mathématiciens comme Poincaré ou Lorentz avaient indépendamment tenté le rapprochement dans le domaine de l'électromagnétisme.

Cette équation aurait été publiée deux ans avant le travail d'Einstein par un italien nommé Olinto De Pretto. Même si de Pretto a le premier écrit cette formule, c'est toutefois bien Einstein qui l'a rendue célèbre.

Dynamique relativiste

Principe de la mécanique relativiste

L'impulsion et l'énergie introduites ci-dessus entrent dans les expressions du principe de la dynamique, qui conserve alors une forme semblable à son correspondant classique : dans le référentiel \mathbb{R},

d\vec{p}=\vec{f}dt \qquad;\qquad dE=\vec{f}.\vec{V}dt.

Une différence importante par rapport à la mécanique classique est à noter : les valeurs des composantes des forces dépendent des référentiels.

Si dans un référentiel les forces appliquées dérivent d'un potentiel U, l'énergie totale E + U est une constante. Un certain nombre de problèmes courants peuvent alors être résolus, tels, en particulier, ceux de charges dans des champs électromagnétiques. Les solutions s'obtiennent sans difficulté.

Systèmes de particules

La relativité de la notion de simultanéité mène à quelques difficultés lorsque l'on considère dans un référentiel un système comportant des particules situées en des points différents de l'espace : à un instant donné, dans ce référentiel, quelles grandeurs pouvons-nous définir sur le système, qui conserveraient un sens dans un changement de coordonnées ne conservant pas la simultanéité ?

  • En toute rigueur donc, un solide n'existe pas en relativité ;
  • considérons un simple système de deux particules chargées dont nous voulons suivre l'évolution. Dans un référentiel donné, la mise en forme des équations à résoudre est simple : deux points matériels, reliés par une simple loi de Coulomb, ceci à un instant t du référentiel \mathbb{R}. Sur ce système on peut être tenté de définir l'impulsion totale et l'énergie totale du système, comme on le ferait en mécanique classique.
Quelle signification accorder au quadri-vecteur somme, issu d'une transformation de Lorentz, puisque dans le référentiel \mathbb{R} il avait été établi à un instant donné, et que dans \mathbb{R'}, les événements correspondant ne sont plus simultanés ?

La mécanique quantique saura résoudre le problème de façon élégante en déconnectant le champ de force instantané et délocalisé en une succession d'émissions, propagations et absorptions des bosons du champ. Ainsi, en dehors des chocs entre les particules et les bosons, les particules sont libres et pour chacune d'entre-elles, les valeurs de l'impulsion et de l'énergie se conservent, ce qui permet d'éliminer le problème du ou des instants des mesures.

La définition de l'impulsion-énergie du système porte donc sur des particules sans interaction. Pour un système de N particules, sans interaction, l'impulsion-énergie dans le référentiel \mathbb{R} est :

\vec{P}=\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_{n}\qquad;\qquad E=\sum_{n=1}^{N}E_{n}.

A partir de ces expressions, l'on définit le référentiel du centre de masse du système \mathbb{R}^{*}, dans lequel l'impulsion totale \vec{P}^{*}=\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_{n}^{*} est nulle. Cette condition, via la transformation de Lorentz, fournit deux renseignements intéressants :

\vec{u}=\frac{c^{2}\vec{P}}{E},
E * = E / γu.

Dans le cas d'un choc, l'interaction entre les particules définit une coïncidence : au même lieu, au même instant. Cette coïncidence a lieu quel que soit le référentiel de description.

La conservation de l'impulsion-énergie gère les différentes possibilités, sorties du choc : choc élastique, choc inélastique.

A noter que la relativité restreinte ne définit pas quels sont les produits d'un choc. Elle ne concerne que la balance impulsion-énergie. Les différentes possibilités (apparition de telle ou telle particule) seront déterminées par le type d'interaction qui interviendra entre les particules qui subissent le chocs, interaction forte, interaction faible ou interaction électromagnétique. Une autre contrainte interviendra aussi : la mécanique quantique.

Électromagnétisme et relativité restreinte

Champ électromagnétique

Les équations de Maxwell sont invariantes par transformation de Lorentz ; les champs \vec{E} et \vec{B} ne se transforment pas d'une façon aussi simple que les vecteurs introduits ci-dessus (tels les vecteurs positions, impulsion-énergie...). Les composantes des deux champs de vecteurs sont en fait des composantes du tenseur électromagnétique, de dimensions 4 \times 4, sujet, lui, à une transformation de Lorentz simple.

Il peut être plus simple d'introduire les potentiels vecteur \vec{V} et scalaire U dont les champs électrique et magnétique dérivent. Dans le cas de la jauge de Lorentz, les deux potentiels définissent un quadri-vecteur, suivant les transformations de Lorentz :

(\vec{A},\frac{U}{c})_{\mathbb{R}}.

Onde électromagnétique et photons

En dehors des sources, les solutions des équations de Maxwell, peuvent s'écrire comme combinaison linéaires d'ondes planes, de vecteur d'onde \vec{k} et de pulsation ω = ck ; la phase \vec{k}.\vec{x}-\omega t est un invariant relativiste, ce qui explique qu'un paquet d'onde dans un référentiel donné, soit aussi un paquet d'onde dans un autre référentiel galiléen.

Il s'ensuit qu'est associé à l'onde plane un quadri-vecteur :

(\vec{k},\frac{\omega}{c})_{\mathbb{R}}.

qui suit les relations de transformation de Lorentz. L'étude de cette transformation introduit deux effets importants :

L'hypothèse de quantification de l'onde électromagnétique introduit au vecteur impulsion-énergie des photons constituant l'onde :

(\vec{p},\frac{E}{c})_{\mathbb{R}}=(\hbar\vec{k},\frac{\hbar\omega}{c})_{\mathbb{R}}.

Cette quantification est nécessaire à l'explication des multiples effets d'interaction rayonnement-matière : effet photo-électrique, effet Compton, création ou annihilation de paires...

Pourquoi n'y a-t-il pas eu de Nobel pour la Relativité ?

Les précurseurs

Si la paternité d'Einstein - et de lui seul - sur la RG est incontestable et incontestée, on sait que pour la RR les choses sont plus embrouillées : quatre contributeurs sont considérés comme évidents: Lorentz, Minkowski, Poincaré et bien entendu Einstein. Et comme on ne décerne pas de co-prix Nobel à un mort, il n'y a pas eu de Nobel pour la RR. Soit.

Cependant, l'examen des communications et de leurs dates met en lumière plusieurs faits :

Transformations de Voigt

Les transformations dites de Lorentz ne sont pas de Lorentz. Qui écrit cela? Lorentz lui-même en 1906, qui les attribue à Voigt et indique même dans quel texte: Über das Döppler'sche Prinzip, « publié en 1887 et qui à mon grand regret a échappé à mon attention pendant toutes ces années », précise Lorentz.

Interprétation du temps par Poincaré

Qui a donné à l'ensemble le nom d'« équations de Lorentz » ? Poincaré, qui en avait entendu parler par Lorentz, et indique dans son cours de 1898 que le « temps local » que Lorentz présente comme un « paramètre fictif » n'a pas de raison de ne pas être considéré comme le temps tout court, qui serait relatif et non pas absolu. En juin 1905, ce même Poincaré signale également que l'ensemble des transformations en question forme une structure de groupe sur l'espace-temps, et que le terme x²+y²+z²-t² constitue un invariant du groupe. Dans un texte publié en 1915, Lorentz reconnait cette erreur de sa part.

Rotation dans un espace-temps à quatre dimensions

Poincaré mentionne en particulier : « nous voyons que la transformation de Lorentz n'est qu'une rotation autour de cet espace [à 4 dimensions] autour de l'origine regardée comme fixe ». (Sur la dynamique de l'électron, Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences, 5 juillet 1905. Le même espace, mentionné trois ans plus tard par Minkowski, prendra le nom... d'« espace/temps de Minkowski »

Omission des références à Poincaré par Einstein

La communication d'Einstein sur la Relativité ne mentionne nulle part le nom de Poincaré, dont Einstein ne pouvait pourtant ignorer les travaux selon les dires de certains. Ainsi, François de Closets, dans sa biographie d'Einstein Ne dites pas à Dieu ce qu'il doit faire, y voit une certaine mauvaise conscience d'Einstein. Un livre publié en 2004, fournissant plusieurs extraits de textes officiels et datés, suggère même qu'il y aurait eu appropriation indue. Toutefois, il serait erroné de croire qu'Einstein ne fut qu'un plagiaire car le contenu de sa théorie ne se limite pas aux équations certes découvertes plus tôt par Lorentz ou Poincaré. Einstein fut celui qui osa haut et fort remettre en cause le caractère absolu de nombreuses notions issues de la physique newtonienne, alors que Poincaré ne voyait souvent là que des jeux mathématiques (voir par exemple « la Science et l'hypothèse » où Poincaré affirme que le concept d'espace euclidien n'a rien à craindre de l'avenir). De plus, le travail d'Einstein se plaçait dans une longue et profonde réflexion sur l'opposition continu/discret et sur la nature de la lumière. Ainsi, parmi les livre bien documentés sur ces sujets, on pourra lire « Einstein 1905. De l'éther aux quanta » et « Galilée, Newton, lus par Einstein » de Françoise Balibar (aux éditions PUF-Philosophie), ainsi que « Einstein et la relativité générale » de Jean Eisenstaedt (CNRS éditions).

Bibliographie

Voir aussi

Liens externes

See also: Relativité restreinte, 1902, 1905, 1909, 1911, 1912, 1915