Série géométrique

Une série géométrique finie ou somme d'une progression géométrique ou encore somme géométrique est une somme dont deux termes consécutifs sont toujours dans un même rapport de proportion. Par exemple,

4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256

est une somme géométrique de rapport commun 2. Il s'agit en fait d'une somme de la forme \sum_{x = 0}^n 2 \times 2^x. C'est une somme géométrique de raison 2 et de premier terme 2. Ces sommes sont dites géométriques, parce qu'elles apparaissent en comparant des longueurs, des aires, des volumes, etc. de formes géométriques dans différentes dimensions.

La somme d'une série géométrique peut être calculée rapidement avec la formule

\sum_{k = m}^{n} x^k=\frac{x^{n + 1} - x^m}{x - 1}

qui est valable pour tous entiers naturels m ≤ n et tous nombres x≠ 1 (ou plus généralement, pour tous éléments x dans un anneau tel que x - 1 soit inversible). Cette formule peut être vérifiée en multipliant les deux côtés par x - 1 en en simplifiant.

D'une manière générale, si (un) est une suite géométrique de raison q différente de un, alors la somme est égale à

{\rm premier\ terme\ }\times\ {1-q^{\rm nombre\ de\ termes\ de\ la\ somme}\over 1-q}

En utilisant la formule, nous pouvons déterminer la somme précédente : (29 - 22)/(2 - 1) = 508. La formule est extrêmement utile pour le calcul des anuités : supposons que vous placiez 2000 euros à la banque chaque année, et que cela vous rapporte de l'argent, à raison d'un intérêt anuel de 5%. Combien d'argent avez vous au bout de 6 ans ?

2000 · 1,056 + 2000 · 1,055 + 2000 · 1,054 + 2000 · 1,053 + 2000 · 1,052 + 2000 · 1,051
= 2000 · (1,057 - 1,05)/(1,05 - 1)
= 14284,02 €

Une série géométrique (infinie) est une série dont les termes successifs sont dans un même rapport de proportion. Une telle série est convergente si et seulement si la valeur absolue du rapport commun (de la raison) est strictement inférieure à un; sa valeur peut être alors calculée par la formule

\sum_{k = 0}^\infty x^k = \frac{1}{1 - x}

qui est donc valable lorsque |x| < 1; c'est une conséquence de la formule pour une série géométrique finie en passant à la limite quand n→∞.

Cette dernière formule est valable dans toute algèbre de Banach, à condition que la norme de x soit strictement inférieure à un (et donc en particulier sur le corps des nombres p-adiques).


Voir aussi: séries

See also: Série géométrique, Anneau (mathématiques), Entier naturel, Limite (mathématiques), Nombre p-adique, Suite géométrique, Série, Valeur absolue, Algèbre de Banach