Spirale logarithmique

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Spirale logarithmique d'équation r=phi^(theta/pi)
La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :

r = abθ

La spirale ci-contre a pour équation polaire :

r=\Phi^{\frac{\theta}{\pi}}

où \Phi\, est le nombre d'or : \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Pour obtenir une spirale symétrique de la précédente par rapport à l'axe (Ox), il suffit de changer b en 1/b.

Sommaire
1 Invariance par similitude
2 Spirale équiangle
3 Rayon de courbure
4 Lien externe

Invariance par similitude

Une rotation de la spirale autour de O d'un angle \theta_0\, équivaut à une homothétie de centre O et de rapport b^{-\theta_0}.

On peut donc remarquer que la spirale logarithmique est invariante par similitude d'angle \theta_0\, et de rapport b^{\theta_0}.

Spirale équiangle

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Une spirale et trois tangentes
On remarque que la tangente à la courbe au point M fait avec la droite (OM) un angle constant α vérifiant la propriété suivante :
\tan(\alpha)=\frac{1}{\ln(b)}

où ln(b) représente le logarithme népérien de b.

Cette propriété est caractéristique des spirales logarithmiques qui sont de ce fait souvent appelées spirales équiangles.

Rayon de courbure

On peut aussi démontrer que le rayon de courbure est directement proportionnel à r selon la loi suivante :

R=\frac{r}{\sin(\alpha)}

Il est alors facile de trouver le centre du cercle osculateur passant « au plus près » de la spirale au point M. Il suffit de tracer la perpendiculaire à la tangente en M ainsi que la perpendiculaire à (OM) passant par O. Les deux perpendiculaires se coupent en C, centre du cercle osculateur.

Lien externe

Spirale logarithmique

See also: Spirale logarithmique, Spirale, Équation polaire