Théorème de Cayley-Hamilton

En algèbre linéaire, le théorème Cayley-Hamilton (qui porte les noms des mathématiciens Arthur Cayley et William Hamilton) affirme que toute matrice carrée à coefficients dans le corps des réels ou des complexes, annule son propre polynôme caractéristique.

Cela signifie que si A est une matrice carrée et si

p (X) = det(X I - A)

est son polynôme caractéristique (polynôme d'indéterminée X), alors en remplaçant formellement X par la matrice A dans le polynôme, le résultat est la matrice nulle :

p (A) = 0.

Le théorème de Cayley-Hamilton s'applique aussi à des matrices carrées à coefficients dans un anneau commutatif quelconque.

Un corollaire important du théorème de Cayley-Hamilton affirme que le polynôme minimal d'une matrice donnée est un diviseur de son polynôme caractéristique.

Exemple

Considérons par exemple la matrice

$A = \begin{pmatrix}1&2\\ 3&4\end{pmatrix}$ .

Le polynôme caractéristique s'écrit

$p(X)=\det\begin{pmatrix}X-1&-2\\ -3&X-4\end{pmatrix}=(X-1)(X-4)-(-2)(-3)=X^2-5X-2.$

Le théorème de Cayley-Hamilton affirme que

A 2 - 5 A - 2 I 2 = 0

et cette relation peut être rapidement vérifiée dans ce cas. De plus le théorème de Cayley-Hamilton permet de calculer les puissances d'une matrice plus simplement que par un calcul direct. Reprenons la relation précédente

A 2 - 5 A - 2 I 2 = 0

A 2 = 5 A + 2 I 2

Ainsi, par exemple, pour calculer A⁴, nous pouvons écrire

A 3 = (5 A + 2 I 2) A = 5 A 2 + 2 A = 5(5 A + 2 I 2) + 2 A = 27 A + 10 I 2

et il vient

A 4 = A 3 A = (27 A + 10 I 2) A = 27 A 2 + 10 A = 27(5 A + 2 I 2) + 10 A

A 4 = 145 A + 54 I 2

Théorème de Cayley-Hamilton

Exemple

See also: Théorème de Cayley-Hamilton, Algèbre linéaire, Anneau commutatif, Corollaire, Corps (mathématiques), Diviseur, Matrice carrée, Nombre complexe, Nombre réel, Polynôme