Théorème de Gauss
| Sommaire |
Mathématiques
Le théorème de Gauss, à la base de l'arithmétique, s'énonce de la façon suivante :
- Soient a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c.
Démonstration
Comme a est premier avec b, leur pgcd est 1. D'après l' identité de Bezout, il existe donc deux entiers u et v tels que :
- ua + vb = 1
Multiplions membre à membre par c :
- uac + vbc = c
Comme a | bc, il existe k tel que bc = ka, d'où :
- uac + vka = c
- (uc + vk)a = c
Cette relation montre que a | c.
Conséquences
Première conséquence :
Soient a et b deux entiers naturels non nuls et p un nombre premier.
Si p divise le produit ab, alors p divise a ou p divise b.
Démonstration :
- Si p divise a, alors la propriété est établie.
- Si p ne divise pas a, alors p et a sont premiers entre eux, puisque les seuls diviseurs positifs de p sont 1 et p. Ainsi, p est premier avec a, or p divise ab, donc d'après le théorème de Gauss, p divise b.
Deuxième conséquence :
Soient a, b et c des entiers naturels non nuls.
Si b et c sont premiers entre eux et divisent a, alors bc divise a.
Démonstration :
- b divise a donc il existe un entier naturel k tel que a = kb.
- c divise a donc il existe un entier naturel l tel que a = lc.
c divise lc donc c divise kb, or c est premier avec b, donc d'après le théorème de Gauss, c divise k. Il existe donc un entier naturel m tel que :
k = mc.
a = kb = mbc, d'où bc divise a.
Voir aussi
Électromagnétisme
En électromagnétisme, l'appellation théorème de Gauss est utilisée pour la relation entre la charge et le flux électrique, le théorème de flux-divergence.