Théorème de Gauss-Wantzel
Le théorème de Gauss-Wantzel précise la condition nécessaire et suffisante pour qu'un polygone régulier soit constructible à la règle et au compas.
- Un polygone à n côtés est constructible si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 et de k nombres de Fermat premiers tous différents.
Gauss avait pressenti cette condition nécessaire et suffisante mais n'avait démontré en 1796 qu'un implication:
- Si un polygone régulier possède n côtés et si n est le produit d'une puissance de 2 et de k nombres de Fermat premiers différents alors ce polygone est constructible. Il avait laissé la réciproque sous forme d'une conjecture.
Pierre-Laurent Wantzel dans sa publication de 1837 démontre la réciproque grâce à sa condition nécessaire pour qu'un nombre soit constructible (théorème de Wantzel).
Le nombre 5 est de Fermat car il est premier et s'écrit 22 + 1. Ainsi la construction d'un polygone de 5 côtés est réalisable. Un polygone à 20 côtés est aussi constructible puisqu'il suffit de partir du polygone à 5 côtés de prendre la bissectrice de chaque angle (à la règle et au compas) d'obtenir un polygone à 10 côtés et de recommencer l'opération. Et un polygone de 15 côtés aussi car 15 est le produit de deux nombres de Fermat. Euclide en avait d'aIlleurs déjà établi une construction.
Le nombre 17 est de Fermat car s'écrit 24 + 1 et il est premier. Un polygone à 17 côtés est aussi constructible et Gauss en a donné un méthode de construction.
En revanche, 7 n'est pas un nombre de Fermat et l'heptagone n'est pas constructible. 9 = 32 n'est pas une puissance première d'un nombre de Fermat donc l'ennéagone n'est pas constructible.