Théorème des nombres premiers

En théorie des nombres, le théorème des nombres premiers est un résultat concernant la densité asymptotique des nombres premiers. En définissant, pour tout réel positif x, le nombre π(x) comme le nombre de nombres premiers inférieurs à x, le théorème des nombres premiers s'énonce de la façon suivante :

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)}

pour de grandes valeurs de x (ln (x) est le logarithme naturel de x ; pour la signification de \sim, voir l'article sur la notation de Landau).

Voici un tableau :

x π(x) π(x) - x/ln(x) Li(x) - π(x) x/π(x)
101 4 0  2 2,500
102 25 3  5 4,000
103 168 23  10 5,952
104 1,229 143  17 8,137
105 9 592 906  38 10,430
106 78 498 6,116  130 12,740
107 664 579 44 159  339 15,050
108 5 761 455 332 774  754 17,360
109 50 847 534 2 592 592  1,701 19,670
1010 455 052 511 20 758 029  3 104 21,980
1011 4 118 054 813 169 923 159  11 588 24,280
1012 37 607 912 018 1 416 705 193  38 263 26,590
1013 346 065 536 839 11 992 858 452  108 971 28,900
1014 3 204 941 750 802 102 838 308 636  314 890 31,200
1015 29 844 570 422 669 891 604 962 452  1 052 619 33,510
1016 279 238 341 033 925 7 804 289 844 392  3 214 632 35,810
4 ·1016 1 075 292 778 753 150 28 929 900 579 949  5 538 861 37,200


Une bien meilleure approximation, et une estimation de l'erreur, est donnée par la formule :

\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x e^{-\frac{\sqrt{\ln(x)}}{15}}\right)

pour de grandes valeurs de x (Li est la fonction logarithme intégral).

Le théorème des nombres premiers nous renseigne également sur le comportement asymptotique du nième nombre premier p(n)

p(n)\sim n\ln(n).

On peut aussi en déduire que la probabilité pour qu'un nombre entier n pris au hasard soit premier vaut 1/ln(n).

Le théorème des nombres premiers a été conjecturé par le mathématicien allemand Gauss en 1792 alors qu'il avait seulement 15 ans et par Adrien-Marie Legendre en 1798 puis démontré indépendamment par Jacques Hadamard et de la Vallée Poussin en 1896.

La démonstration utilise des méthodes d'analyse complexe, en particulier la fonction Zeta de Riemann.

À cause de la relation entre la fonction Zeta de Riemann et π, l'hypothèse de Riemann a une importance considérable en théorie des nombres : si elle était démontrée, cela produirait de loin une bien meilleure estimation de l'erreur intervenant dans le théorème des nombres premiers.

Helge von Koch en 1901 a montré, plus précisément, si l'hypothèse de Riemann était vraie, le terme d'erreur dans la relation mentionnée ci-dessus pourrait être amélioré en :

\pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln (x)\right)

La constante sous la notation grand O est inconnue.

Ce qu'il advint de la 'profondeur'

Ce que l'on appelle les « démonstration élémentaires » du théorème des nombres premiers sont disponibles seulement dans la théorie des nombres. La première de celles-ci fut donnée en partie indépendamment par Paul Erdős et Atle Selberg en 1949. Il était précédemment admis par certains experts du domaine que de telles démonstrations ne pouvaient pas être trouvées. C’est-à-dire, il était affirmé, notablement par G. H. Hardy, que l'analyse complexe était essentiellement impliquée dans le théorème des nombres premiers, conduisant à une conception de profondeur des théorèmes. Les méthodes utilisant seulement des variables réelles étaient supposées être inadéquates. Ceci n'était pas un concept rigoureux et logique (et ne pouvait pas l'être), mais était plutôt basé sur le sentiment qu'une telle hiérarchie de techniques devrait exister (pour des raisons d'esthétique, probablement, dans le cas de Hardy). La formulation de cette croyance fut quelque peu ébranlée par une démonstration du théorème des nombres premiers basée sur le théorème taubérien de Wiener, bien que ceci puisse être contourné par le théorème primé de Wiener en 'profondeur' lui-même équivalent aux méthodes complexes.

Le travail de Selberg-Erdős placé effectivement dans le concept entier, en montrant que les méthodes techniquement élémentaires (en d'autres mots combinatoires) était plus acérées que prévu précédemment. Les développement suivants des méthodes du crible montrèrent qu'ils ont une rôle définitif dans la théorie des nombres premiers.

See also: Théorème des nombres premiers, 1792, 1798, 1896, 1901, 1949, Adrien-Marie Legendre, Analyse complexe, Atle Selberg, Charles-Jean de La Vallée Poussin