Théorie des nombres
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Présentation
Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche de mathématiques pures qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient beaucoup de problèmes ouverts qu'il est facile de comprendre, même par les non-mathématiciens. Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres peut être divisée en plusieurs champs d'étude en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées. Voir par exemple la liste des matières de la théorie des nombres.
Le terme « arithmétique » est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé. Néanmoins, le terme reste répandu -- c’est-à-dire dans les noms des champs mathématiques (géométrie algébrique arithmétique, l'arithmétique des courbes et surfaces elliptiques). Ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec la branche de logique qui étudie l'arithmétique dans le sens des systèmes formels.
La théorie élémentaire des nombres
Dans ce domaine, les entiers sont étudiés sans utiliser de techniques d'autres domaines des mathématiques. Les questions de divisibilité, l'algorithme d'Euclide pour calculer le plus grand commun diviseur (PGCD), la factorisation des entiers en nombres premiers, la recherche des nombres parfaits et des congruences appartiennent à ce domaine. Les affirmations typiques sont le petit théorème de Fermat et le théorème d'Euler, et par extension le théorème des restes chinois et la loi de réciprocité quadratique. Les propriétés des fonctions multiplicatives comme la fonction de Möbius et la fonction φ d'Euler sont étudiées ; ainsi que les suites d'entiers comme les factorielles et les nombres de Fibonacci.
Beaucoup de questions en théorie élémentaire des nombres apparaîssent simples mais requièrent de très profondes considérations et de nouvelles approches. Tels que les exemples suivants :
- La conjecture de Goldbach concernant l'expression des nombres pairs comme somme de deux nombres premiers,
- La conjecture de Catalan concernant les puissances d'entiers successifs,
- La conjecture des nombres premiers jumeaux à propos de l'infinité des paires de nombres premiers, et
- La conjecture de Syracuse concernant une simple itération.
La théorie de l'équation diophantienne a même été montrée comme étant indécidable (voir les Problèmes de Hilbert).
La théorie analytique des nombres
Elle emploie l'outillage du calcul et de l'analyse complexe pour traiter des questions sur les entiers. Le théorème des nombres premiers et l'hypothèse de Riemann qui lui est reliée en sont des exemples. Le problème de Waring (c’est-à-dire : pour un nombre donné, est-il la somme de carrés, de cubes, etc.), la conjecture des nombres premiers jumeaux (trouver infiniment beaucoup de paires de nombres premiers dont la différence est 2) et la conjecture de Goldbach (écrire les entiers pairs comme somme de deux nombres premiers) sont attaqués avec les méthodes d'analyse avec succès. Les preuves de la transcendance des constantes mathématiques, comme π ou e, sont aussi classées comme faisant partie de la théorie analytique des nombres. Tandis que les résultats à propos des nombres transcendants semblent être enlevés de l'étude des entiers, ils étudient réellement les valeurs possibles de polynômes à coefficients entiers évalué à, disons, e; ils sont aussi reliés fermement au champ de l'approximation diophantienne, qui recherche « de quelle façon correcte » un nombre réel donné peut être approximé par un nombre rationnel.
La théorie algébrique des nombres
Dans ce domaine, le concept de nombre est étendu aux nombres algébriques qui sont les racines des polynômes avec des coefficients rationnels. Ces domaines contiennent des éléments analogues aux entiers, connus sous le nom entiers algébriques. Avec ces règles, les propriétés familières des entiers (c’est-à-dire la factorisation unique) ne sont plus les mêmes. Les vertus de l'outillage employé -- théorie de Galois, corps cohomologique, théorie des corps de classes, représentation des groupes et les fonctions L -- sont telles qu'elles permettent de retrouver un ordre partiel pour ces nouvelles classes de nombres.
Beaucoup de questions théoriques sur les nombres sont attaquées avec succès par leur étude modulo p pour tous les nombres premiers p (voir corps finis). Ceci est appelé localisation et mène à la construction des nombres p-adique ; ce champ d'étude est appelé analyse locale et résulte de la théorie algébrique des nombres.
La théorie géométrique des nombres
Elle est traditionnellement appelée géometrie des nombres, elle incorpore toutes les formes de la géométrie. Elle commence avec le théorème de Minkowski à propos de réseaux de points (treillis) dans les ensembles convexes et de recherches sur les empilement de sphères. La géométrie algébrique, et spécialement la théorie des courbes elliptiques, peuvent aussi être employées. Le célèbre Dernier théorème de Fermat fut prouvé avec ces techniques.
La théorie calculatoire des nombres
Ce domaine étudie plus particulièrement les algorithmes appropriés pour la théorie des nombres. Des algorithmes déterministes et probabilistes pour les tests de primalité des nombres supposés premiers et les décompositions en produit de facteurs premiers de nombres à plusieurs centaines de chiffres ont d'importantes applications en cryptographie et est, de fait, un sujet très sensible.
Histoire de la théorie des nombres
La théorie des nombres, une étude favorite parmi les Grecs anciens, commence sa renaissance dans le 16ème et le 17ème siècle par les travaux de Viète, Bachet de Méziriac, et spécialement Fermat. Dans le 18ème siècle Euler et Lagrange contribuèrent à la théorie, et vers la fin du siècle, le sujet commence à prendre une forme scientifique à travers les grands travaux de Legendre (1798), et Gauss (1801). Avec ce dernier et son ouvrage, les Disquisitiones Arithmeticae (1801), on peut dire que la théorie moderne des nombres commence.
Tchebychev (1850) donna des limites très utilisées pour les nombres premiers entre deux nombres donnés. Riemann (1859) conjectura que la limite de la densité des nombres premiers n'excède pas une fonction donnée (le théorème des nombres premiers), introduisit l'analyse complexe dans la théorie de la fonction ζ de Riemann, et en déduisit la formule des nombres premiers à partir de ses zéros.
La théorie des congruences a réellement débuté avec les Disquisitiones de Gauss. Il introduisit le symbolisme suivant :
et explora la plus grande partie de ce domaine. Tchebychev publia en 1847 un travail en russe sur le sujet, et en France Serret le popularisa.
A coté du travail résumé précédemment, Legendre établit la loi de réciprocité quadratique. Cette loi, découverte par induction et énoncée par Euler, fut prouvée en premier par Legendre dans sa Théorie des Nombres (1798) pour des cas exceptionnels. Indépendamment d'Euler et Legendre, Gauss découvrit la loi vers 1795, et fut le premier à donner une preuve générale. Au sujet contribuèrent aussi : Cauchy ; Dirichlet son Vorlesungen über Zahlentheorie est un classique ; Jacobi, qui introduisit le symbole de Jacobi ; Liouville, Zeller(?), Eisenstein, Kummer, et Kronecker. La théorie s'étendit pour inclure la réciprocité biquadratique et cubique, (Gauss, Jacobi qui fut le premier à prouver la loi de réciprocité cubique, et Kummer).
On doit aussi à Gauss la répresentation des nombres par forme quadratique binaire. Cauchy, Poinsot (1845), Lebesgue(?) (1859, 1868), et notablement Hermite ont contribué à ce sujet. Dans la théorie des formes ternaires, Eisenstein a été un chef de file, et grâce à lui et aussi à H. J. S. Smith est due une avancée remarquable dans la théorie des formes en général. Smith donna une classification complète des formes quadratiques ternaires, et étendit les recherches de Gauss concernant les formes quadratiques réelles vers les formes complexes. Les recherches concernant la représentation des nombres par la somme de 4, 5, 6, 7, 8 carrés furent approfondies par Eisenstein et la théorie fut complétée par Smith.
Dans l'histoire de la théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat joue un rôle à part, en raison des efforts considérables, étalés sur plus de trois cents ans, des mathématiciens du monde entier pour en apporter la preuve (ou la négation). Ce théorème affirme que pour n > 2, il n'existe pas d'entiers non nuls x, y et z vérifiant :
.
Pierre de Fermat lui-même en apporta la preuve dans le cas particulier n = 4. Euler, en 1753, le démontra pour n = 3, introduisant dans sa preuve les nombres imaginaires. En 1825, Dirichlet et Legendre démontrent indépendamment le cas n = 5, en utilisant une avancée décisive de la française Sophie Germain. Lamé résout le cas n = 7 en 1839. Kummer en 1847 prouve le théorème lorsque l'exposant n est un nombre premier régulier. À la fin du XIXème et au début du XXe siècle, les mathématiciens délaissent le grand théorème de Fermat pour se consacrer aux fondements des mathématiques. En 1955, les japonais Taniyama et Shimura émettent l'hypothèse d'un lien profond entre les fonctions elliptiques et les formes modulaires, deux domaines à priori très éloignés des mathématiques. Mais la conjecture de Taniyama-Shimura, si elle est vraie, a pour conséquence le grand théorème de Fermat. C'est Andrew Wiles, en 1993, qui prouvera cette conjecture et apportera une réponse définitive au célèbre théorème.
Parmi les derniers auteurs français se trouvent Borel ; Poincaré (leurs mémoires sont nombreux et de grande valeur) ; Tannery, et Stieltjes. Parmi les plus grands contributeurs en Allemagne se trouvent Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, et Dedekind. En Autriche, le travail de Stolz Vorlesungen über allgemeine Arithmetik (1885-1886), et en Angleterre Mathews, sa 'Théorie des nombres (Part I, 1892)' est parmi le plus érudit des travaux généraux. Genocchi, Sylvester, et Glaisher ont aussi participé à la théorie.
Citation
La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres est la reine des mathématiques. Gauss