Topologie
Le terme « topologie » a deux acceptions en mathématiques :
- - d’une part, il désigne la « science topologique » ;
- - d’autre part, il peut être synonyme de « structure topologique ».
Dans la suite de cet article, « topologie » signifiera exclusivement « science topologique ».
Présentation
La topologie, comme l’indique son étymologie, est l’étude des lieux (en grec, topos signifie lieu, et logos signifie science, étude). Elle s’intéresse donc à définir ce qu’est un lieu (appelé aussi espace) et quelles peuvent en être les propriétés (par exemple le fait d’être d’un seul bloc, que ce bloc soit spongieux ou au contraire très compact).
La topologie s’intéresse plus précisément aux espaces topologiques et aux applications qui les lient, dites continues.
Elle permet de classer ces espaces, notamment les nœuds, entre autres par leur dimension (qui peut être aussi bien nulle qu’infinie).
Elle s’intéresse aussi à leurs déformations.
En analyse, grâce aux informations qu’elle fournit sur l’espace considéré, elle permet d’obtenir un certain nombre de résultats (existence et/ou unicité de solutions d’équations différentielles, notamment).
Les espaces métriques ainsi que les espaces vectoriels normés sont des exemples d’espaces topologiques.
Histoire
L’origine de la topologie est l’étude de la géométrie dans les culture antiques. Le travail de Leonhard Euler datant de 1736 sur le problème des sept ponts de Königsberg est considéré comme l’un des premiers résultats de géométrie qui ne dépend d’aucune mesures, c’est-à-dire l’un des premier résultat topologique.
Henri Poincaré publia Analysis Situs en 1895, introduisant les concepts d'homotopie et d'homologie.
Maurice Fréchet, unifiant les travaux sur les espaces de fonctions de Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli et d’autre, introduit le concept d'espace métrique en 1906.
En 1914, Felix Hausdorff, en généralisant la notion d’espace métrique, inventa le terme d'« espace topologique » et définit ce qui s'appelle aujourd'hui l'espace de Hausdorff.
Finalement, une autre légère généralisation en 1922, par Kuratowski, donna le concept actuel de l’espace topologique.
Le terme « topologie », fut introduit en allemand en 1847 par Johann Benedict Listing dans « Vorstudien zur Topologie ».