Trace
En algèbre linéaire, la trace d'une matrice carrée est définie comme la somme de ses éléments diagonaux ; la trace est une forme linéaire sur l'ensemble des matrices. Il est également possible de définir la trace d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie.
Dans tout l'article on considère des matrices à coefficients dans un corps 
.
| Sommaire |
Trace d'une matrice carrée
Étant donnée une matrice carrée 
, on note sa trace 
et on la définit comme égale au scalaire :
Pour toutes matrices carrées 
et 
(de même ordre) et pour tout scalaire 
, les propriétés suivantes sont vérifiées :
Autrement dit la trace est une forme linéaire sur l'espace vectoriel 
des matrices carrées d'ordre 
donné (propriétés 1 et 2), invariante par transposition (propriété 3).
La propriété 4 a pour corollaire important l'égalité suivante, valable pour toute matrice carrée et pour toute matrice inversible 
de même ordre :
Autrement dit la trace est un « invariant de similitude » pour les matrices carrées d'ordre donné. C'est cette propriété qui va nous permettre de définir la trace d'un endomorphisme « abstrait ».
Trace d'un endomorphisme
On se donne un espace vectoriel 
de dimension finie et un endomorphisme 
; on veut définir la trace de 
. Dès que l'on fixe une base 
de , on peut donner la représentation matricielle de relativement à : c'est une matrice . On est tenté de définir la trace de comme étant égale à celle de .
Le problème est que cette définition dépend a priori du choix initial de la base . La question est donc : la valeur ainsi définie dépend-t-elle vraiment du choix de la base ? Autrement dit, arrive-t-on à une valeur différente de la trace de si on la calcule dans une autre base 
? La réponse est heureusement non et ce grâce à la propriété 5 ci-dessus.
En effet si on note 
la matrice de dans la nouvelle base , on a la relation dite « de changement de base » : 
, où désigne la matrice de passage de la base à la base . Or d'après la propriété 5 : 
, donc 
. Ainsi notre définition de la trace de est intrinsèque c'est-à-dire indépendante du choix d'une base particulière pour son calcul. On la notera 
.
On peut assez naturellement adapter les premières propriétés de la trace d'une matrice carrée à la trace d'un endomorphisme. Pour tous endomorphismes 
et pour tout scalaire les propositions suivantes sont vérifiées :
De plus, pour 
(c'est-à-dire que 
est un automorphisme) :
Autrement dit la trace est une forme linéaire sur l'espace vectoriel 
, invariante par transposition et par conjugaison.
Propriétés
Toutes les propriétés qui suivent sont énoncées uniquement dans le cas des matrices carrées ; les énoncés parallèles pour les endomorphismes s'en déduisent facilement.
Trace et polynôme caractéristique
Considérons une matrice carrée d'ordre et notons 
son polynôme caractéristique. On peut écrire 
. La trace de apparaît alors naturellement dans le développement de puisqu'on a la relation :
.
Trace et réduction
Dans le cas où une matrice carrée est trigonalisable (et a fortiori lorsqu'elle est diagonalisable) on peut donner une relation simple entre la trace de et ses valeurs propres. Notons 
ces valeurs propres et 
leurs ordres de multiplicité respectifs. Alors on a :
.
On peut obtenir cette relation en trigonalisant la matrice et en appliquant l'invariance de la trace par similitude, mais aussi en appliquant les relations entre coefficients et racines au polynôme caractéristique et en appliquant la propriété précédente.
Trace de la matrice d'une permutation
On peut représenter une permutation 
(où 
représente le groupe symétrique d'ordre ) par une matrice 
carrée d'ordre , définie par :
-
si 
;
-
sinon.
La trace de la matrice 
s'interprète alors comme le nombre de points fixes de la permutation 
:
.
Divers
- La trace de la matrice identité d'ordre est donnée par :
.
- L'ensemble formé des matrices de trace nulle est un hyperplan de l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre donné.
- Soit E un
-espace vectoriel de dimension n, étant un corps de caractéristique 0, et u un endomorphisme de E. Si 
alors un = 0.
- La trace d'un projecteur
est égale à son rang : 
.
- La trace d'une rotation plane d'angle
est donnée par : 
.
- Plus généralement pour tout entier
, la trace d'une rotation d'axe 
et d'angle dans l'espace à dimensions est donnée par : 
.
- La trace de la matrice d'adjacence d'un graphe est nulle.
|
Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre linéaire | Modifier |
|
Espace vectoriel | Base | Dimension | Matrice | Décomposition matricielle | Application linéaire | Déterminant | Trace | Rang | Réduction d'endomorphisme | Valeur propre | Polynôme caractéristique | Forme linéaire | Espace dual | Orthogonalité | Produit scalaire | Produit vectoriel |