Traitement numérique du signal
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Avantage de traitement numérique
Les machines numériques permettent d’obtenir une meilleure précision de calcul. La facilité de mettre un signal en mémoire permet de réaliser des retards et donc une grande variété de filtres et des opérations de corrélation. L’aptitude des machines numériques à enchaîner des séquences d’opérations facilite la réalisation d’algorithmes de traitement beaucoup plus complexes. Un exemple important en est la transformée de Fourier.
Spécificité traitement numérique
Alors qu’un signal analogique est représentable mathématiquement par une fonction continue d’une variable continue (typiquement une tension variable au cours du temps), un signal numérique est une suite de nombres. Il faut donc des outils mathématiques différents pour les manipuler.
- Transformée en Z : l’équivalent discret de la transformée de Laplace. Un cas particulier en est la transformée de Fourier d’un signal discret.
- Transformée de Fourier discrète (TFD) : nombreuses applications en analyses spectrale et filtrage en raison de l’existence d’un algorithme de calcul rapide, la transformée de Fourier rapide ou Fast Fourier transform (FFT).
Conversion analogique-numérique
Puisque les signaux naturels sont presque tous des signaux continus, il faut les transformer pour les numériser. Cette transformation est réalisée par un composant convertisseur analogique numérique. Cette opération peut se décomposer en deux actions :
- l’échantillonnage qui transforme le signal à support continu en un signal à support discret (suite de valeurs continues)
- la quantification qui remplace les valeurs continues par des nombres.
Echantillonnage - Théorème de Shannon-Nyquist
L’échantillonnage transforme une signal continu sc(t) en un signal discret sd(n) composé des mesures du signal continu à des instants successifs également espacés : sd(n) = sc(nTe). Te est la période d’échantillonnage. Fe = 1 / Te est la fréquence d’échantillonnage. D’après le théorème de Shannon (ou théorème de Nyquist) un signal dont les composantes fréquentielles sont inférieures à Fe / 2 est échantillonné de façon réversible : il est possible de reconstituer le signal continu à partir des valeurs discrètes.
Filtrage linéaire
Un filtre calcule un signal discret y(n) à partir d’un signal discret x(n). Chaque échantillon de y(n) est une combinaison linéaire d’échantillons de x(n). Un filtre est dit causal si l’échantillon y(n) ne dépend que des valeurs de x(i) pour i < n. Cela est nécessairement le cas en fonctionnement temps réel puisque seules les valeurs passées sont connues.
Un filtre linéaire est caractérisé par sa réponse impulsionnelle, c.a.d. la réponse à une entrée ne comportant qu’une valeur non nulle. La nature de cette réponse caractérise le filtre qui peut être à réponse impulsionelle finie (RIF) ou infinie (RII). La sortie d’un filtre est la convolution de l’entrée par la réponse impulsionelle. Cette convolution donne un algorithme de calcul d’un filtre RIF. Cette convolution peut être également calculée par TFD rapide (FFT).
La Transformée en Z de la réponse impulsionnelle est la fonction de transfert du filtre. Sa factorisation permet de décrire un filtrage par une équation aux différences discrètes. La transformée de Fourier (c.a.d la Transformée en Z pour z = exp(2pi.jλ) ) de la réponse impulsionnelle est la réponse en fréquence du filtre. λ est la fréquence réduite : λ = F / Fe. Le calcul des coefficients d’un filtre pour obtenir une réponse en fréquence spécifiée est appelé « synthèse du filtre ».
Analyse spectrale
La TFD permet de calculer numériquement la transformée de Fourier d’un signal et ainsi son spectre qui est sa distribution énergétique en fonction de la fréquence. L’utilisation de cette TFD nécessite cependant quelques précautions. D’une part parce qu’elle n’est applicable que sur un signal de durée limité : le signal doit donc souvent être tronqué. Ceci entraîne l’apparition d’ondulations parasites sur le spectre qui peuvent être atténuées par une technique d’apodisation. D’autre part, le spectre obtenu est échantillonné, ce qui rend son interprétation plus difficile. Une interpolation de ce spectre peut être souhaitable.
Analyse spectrale donne quelques idées sur ces questions.
Mise en œuvre
Le traitement de signaux déjà numérisés peut se faire sur des ordinateurs d’usage général. Dans les applications de traitement en temps réel, des microprocesseurs sont utilisés et particulièrement des microprocesseurs spécialisés pour le traitement du signal (DSP). Pour plus de rapidité, des fonctions spécifiques sont réalisées en circuits intégrés (ASIC) ou implantées sur des composants en logique programmable (FPGA).
Bibliographie en français
- Maurice Bellanger : Traitement numérique du signal. Masson, Paris
- Murat Kunt , Techniques Modernes de Traitement numérique des Signaux, Presse Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1991.
- A.W.M. Van Den Enden, N.A.M. Verhoeckx, « Traitement Numérique du Signal : une introduction », Masson, Paris, 1992
- R. Boite, H. Leich, Les Filtres Numériques Analyse et Synthèse des filtres unidimensionnels, Collection CNET-ENST Masson