Transitivité (mathématiques)

En mathématiques, la transitivité est une propriété éventuelle d'une relation binaire. Dire que la relation binaire $\mathcal{R}$ définie sur un ensemble $E$ est transitive signifie que :

$\forall (x, y, z) \in E, (x \mathcal{R} y) \and ( y \mathcal{R} z) \implies x \mathcal{R} z$ .

Si l'amitié était transitive, on pourrait affirmer « Tous les amis de mes amis sont mes amis.»

Exemples concrets

Les relations $=$ , $\geq$ et $\leq$ sont parmi quelques unes des relations transitives les plus couramment utilisées. Si $a = b$ et si $b = c$ alors automatiquement $a = c$ .

La relation de parallélisme est transitive : si une droite D est parallèle à D', elle-même parallèle à D", alors D est parallèle à D". Il en est de même pour toute relation d'équivalence.

De même, les relations d'ordre sont transitives. Par exemple, $(a \leq b) \and (b \leq c) \implies a \leq c$ ou encore tout diviseur naturel d'un diviseur naturel de n divise n.

Ainsi, on dit de la relation de congruence qu'elle est transitive dans $\mathbb N$ . Cela veut dire que si $a \equiv b [2]$ et si $b \equiv c [2]$ , alors $a \equiv c [2]$ .

Contre-exemple concret

La relation $\not=$ n'est pas transitive, c'est-à-dire $a \not= b$ et $b \not= c$ ne permet pas de dire que $a \not= c$ .

Voir aussi

Relation binaire.

Transitivité (mathématiques)

Exemples concrets

Contre-exemple concret

Voir aussi

See also: Transitivité (mathématiques), Divisibilité, Mathématiques, Parallélisme (géométrie), Relation binaire, Relation d'ordre, Relation d'équivalence